例1． 在处可导，则
思路： 在处可导，必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
(1)； (2)
分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：(1)
(2)
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若为偶函数
令
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
例4．(1)求曲线在点(1，1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
解：(1)，
，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0
因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1
(2)
。
例5． 求下列函数单调区间
(1) (2)
(3)
(4)
解：(1) 时
∴ ，
(2) ∴ ，
(3)
∴
∴ ， ，
(4) 定义域为
例6．求证下列不等式
(1)
(2)
(3)
证：(1)
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴
恒成立
(2)原式 令
∴ ∴
∴
(3)令
∴
∴
例7．利用导数求和：
(1)；
(2)。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：(1)当x=1时，
；
当x≠1时，
∵，
两边都是关于x的函数，求导得
即
(2)∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
例8．设，求函数的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：.
当时 .
(i)当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
(ii)当时，对，有，
即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在(0，+)内单调递增
(iii)当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，解得.
因此，函数在区间内单调递减.
例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。
(1)求A、B两点的坐标； (2)求直线与的夹角。
分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
解 (1)由方程组
解得 A(-2，0)，B(3，5)
(2)由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，
所以
说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例10．(2001年天津卷)设，是上的偶函数。
(I)求的值； (II)证明在上是增函数。
解：(I)依题意，对一切有，即，
∴对一切成立，
由此得到，，
又∵，∴。
(II)证明：由，得，
当时，有，此时。∴在上是增函数。
