1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； (2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法： 非负整数集(或自然数集)，记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。

2．集合的包含关系： (1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作AB(或)； 　 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A　　 B； (2)简单性质：1)AA；2)A；3)若AB，BC，则AC；4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)；

3．全集与补集： (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； (2)若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集； (3)简单性质：1)()=A；2)S=，=S。

4．交集与并集： (1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。 (2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质： (1) (2) (3) (4)； (5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。

+(200÷30)＝146 所以，符合条件的数共有200－146＝54(个) 点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。 题型7：集合综合题 例11．(1999上海，17)设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。 解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。 由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。 因为AB，所以，于是0≤a≤1。 点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|　x2－y2=1,x,y∈R}。 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B至多有一个元素； (3)当a1≠0时，一定有A∩B≠。 解：(1)正确；在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上。 (2)正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=； 当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。 ∴A∩B至多有一个元素。 (3)不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,　>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。 点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： (Ⅰ)设集合，,求实数m的取值范围. 　 分析：关键是准确理解　　 的具体意义，首先要从数学意义上解释　 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解： 的取值范围是UM={m|m<-2}. (解法三)设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于 注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 (Ⅱ)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， (Ⅲ) 　 　 分析：正确理解 　 　 　 要使, 由 当k=0时，方程有解,不合题意； 当① 又由 由②， 由①、②得 ∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1 点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6：课标创新题 例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？ 　 解：设集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中间的位置}， D={丙站在正中间的位置}， 则集合A、B、C、D的关系如图所示， ∴不同的排法有种. 点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有　； ②存在常数，使得对任意的，都有 (1)设，证明： (2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的; (3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。 解： 对任意,,,,所以 对任意的， ， 　 ， 　 所以0<, 令=， ， 所以 反证法：设存在两个使得,。 则由， 得，所以，矛盾，故结论成立。 ， 所以 +… 。 点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简(或求解)，一般应考虑先化简(或求解)；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。 ③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是。 ④区分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。 ⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。