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15.过双曲线:的左顶点作斜率为的直线,若与双曲线的两条渐近线分别交于点、,且,则双曲线的离心率.
数学(理科,江西专用) 参考答案
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)
题号 |
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12 |
答案 |
B |
C |
C |
D |
B |
C |
C |
D |
A |
D |
B |
B |
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)
13.0 14. 15. 16. .
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,已知,且、 、成等比数列.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,求的值.
解:(Ⅰ)依题意,,由正弦定理及,得.
.
(Ⅱ)由,得,即.由,得(舍负)
∴,由余弦定理,得,∴,故.
18.(本小题满分12分)四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示.
纪念币 |
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概率 |
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这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围;
解:(Ⅰ)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为.
∴,
,
,
,.
∴的分布列为
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的数学期望为.
(Ⅱ)∵,∴,.则
,,
由,得,即的取值范围是.
19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面底面,侧棱与底面
成的角,.底面是边长为的正三角形,
其重心为点.是线段上的一点,且.
(Ⅰ)求证:侧面;
(Ⅱ)求平面与底面所成的锐二面角的大小.
解:(Ⅰ)延长交于点,则,即为的中点.∵为的重心,
∴、、三点共线,且,∴,故侧面.
(Ⅱ)作于,∴面.∵侧棱与底面成的角,.
∴,,.作于,连,则,∴为
所求二面角的平面角.又,,∴,在
中,,故所求锐二面角的大小为.
20.(本小题满分12分)设,.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,对任意正实数成立.
(Ⅰ)解:当时,,由,得.∵当时,
;当时,,∴的单调增区间是,;单调增区间是.
(Ⅱ)证明:令,则.当时,由,
;当时,;当时,,∴在上的最小值
是,故当时,对任意正实数成立.
21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列由,确定.
(Ⅰ)对于一切的,证明:;
(Ⅱ)若是满足的正实数,且,证明:.
解:(Ⅰ)用数学归纳法证明:当时,,,成立.
假设时结论成立,即,则,即.
∴,∴时结论也成立,综上,对一切的,成立.
(Ⅱ),
∴.当时,,与矛盾,故.
∴
.
22.(本小题满分14分)已知常数列,点是直角的直角顶点,顶点在定直线
:上移动,斜边所在直线恒过定点.
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设是轨迹上的任一点,是过点法线(即与过点的切线垂直的直线),且,
,证明:直线、与直线的夹角相等.
解:(Ⅰ)设,,依题意,∴,即 ①.
又与共线,∴ ②. 由①②消去,得.
(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设是双曲线上位于轴上方的点,由,
得,∴.故过点的切线的斜率,而,
∴,∴,.设是与直线的夹角,则
. 设是与直线的夹角, ,则.
∴,又,∴,故直线、与直线的夹角相等.