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19.(12分)
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
(1)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.
注意:考生在(20甲)、(20乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19甲)计分.
20甲.(12分)
如图,正三棱柱的底面边长为a,点M在边BC上,△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求证点M为边BC的中点;
(2)求点C到平面的距离;
(3)求二面角的大小.
20乙.(12分)
如图,直三棱柱中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,=3a,D为的中点,E为的中点.
(1)求直线BE与所成的角;
(2)在线段上是否存在点F,使CF⊥平面,若存在,求出;若不存在,说明理由.
参考答案
1.(文)A(理)C 2.(文)A(理)B 3.C 4.(文)D(理)B 5.(文)D (理)C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C
13.33 14.7 15.18 16.只要写出-4c,2c,c(c≠0)中一组即可,如-4,2,1等
17.
.
18.(1)由,,成等差数列,得,
若q=1,则,,
由≠0 得 ,与题意不符,所以q≠1.
由,得.
整理,得,由q≠0,1,得.
(2)由(1)知:,
,所以,,成等差数列.
19.(1)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为A,摸出两个球共有方法种,
其中,两球一白一黑有种.∴ .
(2)法一:记摸出一球,放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B,摸出一球得白球的概率为,摸出一球得黑球的概率为,
∴ P(B)=0.4×0.6+0.6+×0.4=0.48
法二:“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”.
∴
∴ “有放回摸两次,颜色不同”的概率为.
20.(甲)(1)∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴ 且.
∵ 正三棱柱, ∴ 底面ABC.
∴ 在底面内的射影为CM,AM⊥CM.
∵ 底面ABC为边长为a的正三角形, ∴ 点M为BC边的中点.
(2)过点C作CH⊥,由(1)知AM⊥且AM⊥CM,
∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面内, ∴ CH⊥AM,
∴ CH⊥平面,由(1)知,,且.
∴ . ∴ .
∴ 点C到平面的距离为底面边长为.
(3)过点C作CI⊥于I,连HI, ∵ CH⊥平面,
∴ HI为CI在平面内的射影,
∴ HI⊥,∠CIH是二面角的平面角.
在直角三角形中,
,,
∴ ∠CIH=45°, ∴ 二面角的大小为45°
(乙)(1)以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵ AC=2a,∠ABC=90°,
∴ .
∴ B(0,0,0),C(0,,0),A(,0,0),
(,0,3a),(0,,3a),(0,0,3a).
∴ ,,,,,,
∴ ,,,,,.
∴ ,, ∴ ,
∴ . 故BE与所成的角为.
(2)假设存在点F,要使CF⊥平面,只要且.
不妨设AF=b,则F(,0,b),,,,,0,,,,, ∵ , ∴ 恒成立.
或,
故当或2a时,平面.
21.(1)法一:l:,解得,.
∵ 、、成等比数列,
∴ , ∴ , ,,,,
∴ ,. ∴
法二:同上得,.
∴ PA⊥x轴.. ∴ .
(2) ∴ .
即 , ∵ ,
∴ ,即 ,. ∴ ,即 .
22.(1). 又c<b<1,
故 方程f(x)+1=0有实根,
即有实根,故△=
即或
又c<b<1,得-3<c≤-1,由知.
(2),.
∴ c<m<1 ∴ .
∴ .
∴ 的符号为正.