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08届考文科数学模拟试题(三)参考答案

一、1 B     2 D    3 A   4 D     5 C     6 B   

7 A     8  A   9 C   10 D    11 C    12 B

二、13、3     14、      15、-160       16、   

三、17、解: (1)      ……… 3分

     的最小正周期为                     ………………… 5分

(2)  ,    …………………   7分     

               ………………… 10分  

               …………………  11分

 时,函数的最大值为1,最小值  ……… 12分

18.解:(1)P1=;                          ……… 6分

(2)方法一:P2=

方法二:P2=

方法三:P2=1-            ……… 12分

19、解法一:

(Ⅰ)连结CBCO,则OB C的中点,连结DO

∵在△AC中,OD均为中点,

ADO…………………………2分

A平面BD,DO平面BD

A∥平面BD。…………………4分

(Ⅱ)设正三棱柱底面边长为2,则DC = 1。

    ∵∠DC = 60°,∴C=

DEBCE

∵平面BC⊥平面ABC

DE⊥平面BC

EFBF,连结DF,则 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角………………8分

RtDEC中,DE=

RtBFE中,EF = BE.sin

∴在RtDEF中,tan∠DFE =

∴二面角DBC的大小为arctan………………12分

解法二:以AC的中D为原点建立坐标系,如图,

设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| =

     则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),

(1,0), ,

(Ⅰ)连结CBOC的中点,连结DO,则     

     O.       =

A平面BD

A∥平面BD.………………………………………………4分

(Ⅱ)=(-1,0,),

       设平面BD的法向量为n = ( x , y , z ),则

       即  则有= 0令z = 1

n = (,0,1)          …………………………………8分

       设平面BC的法向量为m = ( x′ ,y′,z′)

 
 
       =(0,0,),


 

 

 

 
        即  ∴z′= 0

      令y = -1,解得m = (,-1,0)

      二面角D -B-C的余弦值为cos<n , m>=

∴二面角D-B-C的大小为arc cos               …………12分

20、解: 解:

     (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,    f′(x)=3x2+2ax+b,

         由f′(-)=a+b=0,   f′(1)=3+2a+b=0,得

         a=-,b=-2,…………  3分

f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:

x
(-∞,-)

(-,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0

0
+
f(x)
 

极大值

极小值

所以函数f(x)的递增区间为(-∞,-)与(1,+∞);

递减区间为(-,1).             …………  6分

(2)f(x)=x3-x2-2x+c  x∈[-1,2],当x=-时,f(x)=+c为极大值,

而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值.      …………  8分

要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只须c2>f(2)=2+c,

解得c<-1或c>2.               …………  12分

21、(I)解:方程的两个根为

时,,所以

时,,所以

时,,所以时;

时,,所以.      …………  4分

(II)解:

.                          …………  8分

(Ⅲ)=                       …………  12分

22、解: (I)依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,

离心率为的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

,∴点x轴上,且,且3

解之得:,     ∴坐标原点为椭圆的对称中心 

∴动点M的轨迹方程为:        …………  4分

(II)设,设直线的方程为,代入

                   ………… 5分

, 

    ………… 6分

,,

,

 

解得: (舍)   ∴ 直线EF在X轴上的截距为    …………8分

(Ⅲ)设,由知, 

直线的斜率为    ………… 10分

时,;

时,,

时取“=”)或时取“=”),

             ………… 12分            

综上所述                  ………… 14分