精英家教网> 试卷> 08届高中毕业班理科数学质量检查试题 数学  (理科)  试题     本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共8页,全卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:     如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).     如果事件A、B相互独立,那么P(A.B)=P(A).P(B).     如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=.     球的表面积公式  S=4πR2,其中R表示球的半径.     球的 > 题目详情
题目所在试卷参考答案:

数学(理科)试题参考答案及评分标准

说明:

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

    二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

    三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.

    1.A  2.C  3.C  4.B  5.A  6.D  7.B  8.D  9.A  10.D  11.D  12.A

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分.

  13.15;14.;15.;16.

三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式,三角函数的图象与性质等基础知识;考查理解能力和运算能力.满分12分.

解:……………………………………………………(4分)

         ………………………………………(6分)

…………………………………………………(8分)

…………………………………………(10分)

时,f(x)单调递增.

  ∴f(x)单调递增区间为[]……………………(12分)

18.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方

  法;考查推理与运算能力.满分12分.

解法一:(I) ,且a1=1,显然an≠0

           ,又c为常数,

           ∴数列是等差数列. ………………………………………………(4分)

        (Ⅱ)由(Ⅰ)知,……………………………(5分)

            

            又∵a1a2a5成等比数列,,解得c=0或c=2. (7分)

当c=0时,an+1=an,不合题意,舍去.

∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)

         (Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2,∴…………………………………………(9分)

…………(10分)

……………………………………………………(11分)

.…………………………………………………………(12分)

解法二:(Ⅰ) ,且a1=1,显然an≠0

,……………………………………………(2分)

,又c为常数,

∴数列是等差数列……………………………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.

19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力.满分12分.

解法一:如图分别以DADCDD1所在的直线为x 轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,由已知

D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、

C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、

E(1,0,2 )、F(0,2,1).…………(2分)

        (Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是

            =(2,2,2). …………………(4分)

又∵=(-1,2,-1),

.= -2+4-2=0,

,而EF平面ACD1

EF∥平面ACD1……………………………………………………(6分)

(Ⅱ) ∵=(0,2,0),cos<,>=

∴异面直线EFAB所成的角为arccos……………………(8分).

(Ⅲ)设点P(2,2,t)(0<t≤2),平面ACP的一个法向量为=(xyz),

          则

          ∵=(0,2,t), =(-2,2,0),

          ∴.

易知平面ABC的一个法向量

依题意知,<>=30°或<>=150°,

∴|cos<>|=………………………(10分)

,解得

,∴在棱BB1上存在一点P,当BP的长为时,

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………(12分)

解法二:(Ⅰ)同解法一知=(-1,2,-1) ,=(-2,0,2),

= (-2,2,0),∴-=

共面.

又∵EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. ……………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一.

解法三:(Ⅰ)取AD1的中点K,连结EKKC,在△AA1D1

中,EKAA1,且EK=AA1


 
FC=CC1CC1AA1,∴FC    EK

∴四边形EKCF为平行四边形,

EFCK.又∵CK平面ACD1

EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EFCK,又ABCD

           ∴∠DCK就是异面直线ABEF所成的角(或补角).

           连DK,∵CD⊥平面AD1DK平面AD1

           ∴CDDK,在Rt△CDK中,DC=2,DK=,∴tan∠DCK=

∴异面直线ABEF所成的角为arctan.…………………(8分)

        (Ⅲ)假设存在点P,使得二面角P-AC-B的大小为30°.连结BDACO    点,连结OP,∵ABCD为正方形,∴BOAC,而OBOP在平面AC上的射影,由三垂线定理得OPAC

           ∴∠BOP为二面角P-AC-B的平面角,∴∠BOP=30°,

           则tan30°=,  ∴BP=

       ∵∴在棱BB1上存在一点P,当BP的长为时,

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………………(12分)

解法四:(Ⅰ)取D1C1的中点H,连结EHFHA1C1

           ∵EA1D1的中点,∴EHAlCl

           而A1C1AC,∴EHAC

           又∵FCC1的中点,∴HFD1C

           ∵EHHF相交,D1CAC相交,

           ∴平面EHF∥平面ACD1EF平面EHF

           ∴EF∥平面ACD1.  ………………(4分)

           (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三.

20.本小题主要考查函数与不等式等基础知识;考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

解法一:(Ⅰ)依题意设v=2,……………………………………………………(2分)

           又当ω=3时,v=54000,∴k=6000,…………………………………(3分)

           故2=6000ω2.………………………………………………………(4分)

        (Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉,

           由(Ⅰ)可知,按重量比为l∶3切割后的价值为

           6000(a)2+6000(a)2.…………………………………………… (6分)

           价值损失为

           6000a2一[6000(a)2+6000(a)2].…………………………………(7分)

           价值损失的百分率为

          

           答:价值损失的百分率为37.5%.……………………………………(8分)

(Ⅲ)若把一颗钻石按重量比为mn切割成两颗,价值损失的百分率应为

  ,…………………………(10分)

,…………………………………(11分)

         等号当且仅当m=n时成立.

         即重量比为1∶1时,价值损失的百分率达到最大………………(12分)

解法二:(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一.

      (Ⅲ)设一颗钻石切割成两颗,其重量比为1∶x

            则价值损失的百分率为

            ,………………………………(10分)

            又x>0,∴x2+1≥2x

      故

等号当且仅当x=1时成立.……………………………………………(11分)

故当重量比为1∶1时,价值损失的百分率达到最大………………(12分)

21.本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识;考查解析几何的基本思想方法;考查分析问题、解决问题的能九满分12分.

解法一:(Ⅰ)设D(xy),∵A(a,0),由ABCD为菱形

           且ACBD的交点在y轴上,

       ∴BC两点坐标为(-x,0)、(-ay).

           由ACBD

.=(2xy).(2a,-y)

=4ax - y2=0,

即 y2 = 4ax. …………………………(4分)

注意到ABCD为菱形,∴x≠0

故轨迹E的方程为y2 = 4ax(x≠0).

……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90°.

…………………………………(6分)

       证明如下:

(1)当PQx轴时,PQ点的坐标为(a,±2a),又R(一a,0),

            此时∠PRQ=90°,结论成立;……………………………………(7分)

(2)当PQx轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(xa),

  由得 k2x2  - (2ak2+4a)x + k2a2 = 0

        记P(x1y1),Q(x2y2),则x1+x2 =2a+x1 x2=a2.

       .=(x1+a)(x2+a)+y1y2

                       =(x1+a)(x2+a)+k2(x1- a)(x2- a)

             =(1+k2) x1 x2+(a - ak2)( x1+x2)+a2+a2k2

             =(1+k2) a2 +(a - ak2)( 2a+)+a2+a2k2=>0

                         ………………………………………………………(10分)

              即<,>为锐角,……………………………………………(11分)

              综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立.  …………………………(12分)

解法二:(Ⅰ)设D(xy),由ABCD为菱形且ACBD的交点在y轴上,

            ∴C点坐标为(-ay),∵A(a,0),由|DA|=|DC|得

           

       化简得y2=4ax.………………………………………………………(4分)

       注意到ABCD为菱形,∴x≠O,

       故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O).……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

        证明如下:

      设P(x1y1),Q(x2y2),同证法一易知,则x1 x2=a2.又y12=4ax1y22=4ax2,且|PR2x1+x2+2a ,因为

      |PR2+|QR2-|PQ2=(x1+a)2+y12+(x2+a)2+y22-( x1+x2+2a)2

             =2ax1+2ax2-4a2≥2 -4a2=4a-4a2=0……………(9分)

      从而 cos∠PRQ=≥0,……………………(11分)

即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)

解法三:(Ⅰ)因为ABCD为菱形,且ACBD的交点在y轴上,

            所以点C的横坐标为 -a

            即点C在直线x = -a上,从而DC的距离等于D到直线x = -a的距    离.又ABCD为菱形,所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离    相等,即轨迹E为抛物线,方程为y2=4ax.…………………………(4分)

            注意到ABCD为菱形,∴x≠O,

            故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O).……………………………………(5分)

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

    证明如下:

如图,过PQx轴及准线x = -a引垂线,记垂足为MNCH

            则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|,所以∠PRM≤45°,…………………(10分)

            同理可证∠QRN≤45°,从而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)

    解法四:(Ⅰ)同解法一.

            (Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90°.………………………(6分)

            证明如下:

P(x1y1),则y12=4ax1,tan∠PRM=|kPR|=||=,…(8分)

x1+a≥2,∴tan∠PRA≤1,∠QRA≤45°,…………………(10分)

同理可证∠QRA≤45°,即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)

22.本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识;考查化归及数形结合的思想方法;考查分析问题、解决问题的能九满分14分.

解:(Ⅰ)  =  ………………………………………………………(2分)

x=0时,f(x)取得极值,∴=0,……………………………………(3分)

 =0,解得a=1.经检验a=1符合题意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x,由f(x)= +b,

得ln(x+1)-x2+ x-b=0,

φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b

f(x)= +b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]

恰有两个不同实数根.………………………………………………………(5分)

       ,………………………………(8分)

x∈(O,1)时, >O,于是φ(x)在(O,1)上单调递增;

x∈(1,2)时, <0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减.…………(8分)

       依题意有

        ∴ln3 -1≤b<ln2 +.…………………………………………………………(9分)

(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)-x2 x的定义域为{x|x> -1},………………………………(10分)

    由(Ⅰ)知,……………………………………………(11分)

    令=0得,x=0或x= -(舍去),

    ∴当-1<x<0时,>0,f(x)单调递增;

      当x>0时,<0,f(x)单调递减.

f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)

f(x)≤ f(0),故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).…(13分)

对任意正整数n,取x=>0得,ln(+1)< +,故ln()<.

………………………………………………………………(14分)