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08年高考理科数学模拟考试题卷

参考答案

一、选择题:(本大题共10个小题;每小题5分,共50分。)

题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
D
B
C
A
D
C
A
B
A
D

二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分。)

11、;         12、  ;

13、1;      14 、720;           15、②④;

三、解答题:(本大题共6小题,共75分。)

16、(本小题满分12分)

解:(I) 当 x = 时,cos <a,c> =       ………… 1分

 =   ………… 2分

 = -cos x = -cos = cos       ………… 3分

∵   0≤<a,c>≤p,     ………… 4分

∴ <a,c> =     ………… 5分

(II)  f (x) = 2a.b + 1 = 2 (-cos 2 x + sin x cos x) + 1     ………… 6分

 = 2 sin x cos x-(2cos 2 x-1)    ………… 7分

 = sin 2x-cos 2x  ………… 8分

 = sin (2x-)    ………… 9分

∵   x∈[,],∴ 2x-∈[,2p],   ………… 10分

故 sin (2x-)∈[-1,]     ………… 11分

∴   当 2x-= ,即 x = 时,f (x)max = 1       ………… 12分

17、(本小题满分12分)

解:(I) n = 1 时,2.a1 = S1 = 3,∴a1 = ;      …………2分

n≥2 时,2 n.an = SnSn1 = -6,∴ an = . 又  ≠    …………4分     

∴   通项公式an =             …………6分

(II)当 n = 1 时,b1 = 2-log 2  = 3,∴ T1 =  = ; …………8分

 n≥2时, bn = n.(2-log 2) = n.(n + 1), ∴  =  …………10分

∴   Tn =  +  + … +  =  +  +  + … +  = -

∴   Tn = -                …………12分

 

18、(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)∵  B1D⊥平面ABC,  AC平面ABC,

∴  B1D⊥AC, 又AC⊥BC,  BC∩B1D=D.

       ∴ AC⊥平面BB1C1C.                  …………………… 3分

 (Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB1C1C ,要使AB1⊥BC1 ,由三垂线定理可知,

只须B1C⊥BC1,                          ………………………… 5 分

         ∴  平行四边形BB1C1C为菱形, 此时,BC=BB1

         又∵ B1D⊥BC, 要使D为BC中点,只须B1C= B1B,即△BB1C为正三角形,   ∴  ∠B1BC= 60°.                   ………………………… 7分

 ∵  B1D⊥平面ABC,且D落在BC上,

        ∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角.

故当α=60°时,AB1⊥BC1,且使D为BC中点…………………… 8分

(Ⅲ)过C1作C1E⊥BC于E,则C1E⊥平面ABC.

过E作EF⊥AB于F,C1F,由三垂线定理,得C1F⊥AB.

∴∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角.………………… 10分

设AC=BC=AA1=a,

在Rt△CC1E中,由∠C1BE=α=,C1E=a.

在Rt△BEF中,∠EBF=45°,EF=BE=a.

∴∠C1FE=45°,故所求的二面角C1-AB-C为45°.………… 12分

解法二:(1)同解法一                        ……………… 3分

(Ⅱ)要使AB1⊥BC1,D是BC的中点,即=0,||=||,

=0,∴

,故△BB1C为正三角形,∠B1BC=60°;

∵  B1D⊥平面ABC,且D落在BC上,         …………………… 7分

       ∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角.

      故当α=60°时,AB1⊥BC1,且D为BC中点.      …………………8分

(Ⅲ)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,-a),

平面ABC的法向量n1=(0,0,1),设平面ABC1的法向量n2=(x,y,z).

n2=0,及n2=0,得

   ∴n2=(,1).………………10分

cos<n1, n2>== ,

故n1 , n2所成的角为45°,即所求的二面角为45°.……………………12分

19、(本小题满分12分)

解:(I) x 的所有可能取值为3400,2400,1400,400.………………2分

(II) P(x = 3400) = ( ) 3 = ……………………4分

 P(x = 2400) = C31( ) ( ) 2 = ………………6分

 P(x = 1400) = C32( ) 2 ( ) = ………………8分

 P(x = 400) = C33( ) 3 = ……………………10分

 x 的分布列为

x
3400
2400
1400
400
P




……………………………………10分       ……12分

 20、(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设,由   ,得

在双曲线上,有

            ①

            ②…………………………………………2分

,即,得

,       ③………………………………………4分

①+2×③+②,并整理,得

这表明点恒在双曲线上.……………………………6分

(Ⅱ)同(Ⅰ)所设,由,得

当点在双曲线的渐近线上,有

,亦即

…………………10分

将①②③三式代入上式,得,从而因此,不存在不同时为零的实数,使得点在题设双曲线的渐近线上.…………………13分

21、(本小题满分14分)

解:(I) 由题意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2   ………… 1分

 Þ (pq) (e + ) = 0       ………… 2分

e + ≠0,∴       p = q ……………………………………………………3分

(II)由(I)知 f (x) = px--2ln x

 f ' (x) = p + -=  ……………………4分

h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数,只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分

① 当 p = 0时, h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f ' (x) = - < 0,

∴   f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减,故 p = 0适合题意.   ………………………….6分

② 当 p > 0时,h(x) = px 2-2x + p,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x = ∈(0,+¥),∴     h(x)min = p

只需 p-≥0,即 p≥1 时 h(x)≥0,f ' (x)≥0,

f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增,

p≥1适合题意.               ……………………………………………7分

③当 p < 0时,h(x) = px 2-2x + p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴为 x = Ï (0, + ¥).

只需 h(0)≤0,即 p≤0时 h(x)≤0在 (0, + ¥)恒成立.

p < 0适合题意.  ……………………8分

综上可得, p≥1或 p≤0.      ……………………………………………9分

另解:(II)     由 (I) 知 f (x) = px--2ln x

 f’(x) = p + -= p (1 + )-

要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数,只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足:f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.

f’(x)≥0 Û p (1 + )-≥0 Û p≥ Û p≥()maxx > 0

∵   ≤ = 1,且 x = 1 时等号成立,故 ()max = 1

∴   p≥1

f’(x)≤0 Û p (1 + )-≤0 Û p≤  Û p≤()minx > 0

而 > 0 且 x → 0 时,→ 0,故 p≤0

综上可得,p≥1或 p≤0    

(III) ∵   g(x) = 在 [1,e] 上是减函数

∴   x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e

即   g(x) Î [2,2e]        ………… 10分

p≤0 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合题意。  …… 11分

② 0 < p < 1 时,由x Î [1,e] Þ x-≥0

∴   f (x) = p (x-)-2ln xx--2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在 [1,e] 递增

∴   f (x)≤x--2ln xe--2ln e = e--2 < 2,不合题意。…… 12分

p≥1 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增,f (1) = 0 < 2,又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴   本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2,x Î [1,e]

 Þ f (x)max = f (e) = p (e-)-2ln e > 2

 Þ p > (∵ >1)     ………… 13分

综上,p 的取值范围是 (,+¥)     ………… 14分