精英家教网> 试卷> 难点11  函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 ()设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求f(x)的最值. ●案例探究 [例1]设f > 题目详情
题目所在试卷参考答案:

参考答案

难点磁场

(1)证明:令x=y=0,得f(0)=0

y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

f(x)是奇函数

(2)解:1°,任取实数x1x2∈[-9,9]且x1x2,这时,x2x1>0,f(x1)-f(x2)=f[(x1x2)+x2]-f(x2)=f(x1x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2x1)

因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

f(x)在[-9,9]上是减函数

f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).

f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.

f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.

歼灭难点训练

一、1.解析:分类讨论当a>1时和当0<a<1时.

答案:C

2.解析:用特值法,根据题意,可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,

f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.

g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.

f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.

g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).

即①与③成立.

答案:C

二、3.解析:设2x=t>0,则原方程可变为t2+at+a+1=0                                             ①

方程①有两个正实根,则

解得:a∈(-1,2-2.

答案:(-1,2-2

三、4.解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶

函数.

(2)①当xa时,函数f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,则函数f(x)在(-∞,a上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1.

a>,则函数f(x)在(-∞,a上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a).

②当xa时,函数f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+;当a≤-时,则函数f(x)在[a,+∞上的最小值为f(-)=a,且f(-)≤f(a).若a>-,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而,函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.

综上,当a≤-时,函数f(x)的最小值是a,当-a时,函数f(x)的最小值是a2+1;当a>时,函数f(x)的最小值是a+.

5.(1)证明:由 得f(x)的定义域为(-1,1),易判断f(x)在(-1,1)内是减函数.

(2)证明:∵f(0)=,∴f-1()=0,即x=是方程f-1(x)=0的一个解.若方程f-1(x)=0还有另一个解x0,则f-1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0,与已知矛盾,故方程f-1(x)=0有惟一解.

(3)解:fx(x)]<,即fx(x)]<f(0).

6.证明:对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数.设-1<x1x2<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(),∵-1<x1x2<0,∴x1x2<0,1-x1x2>0.∴<0,于是由②知f()>0,从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(-1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数,且f(x)<0.

7.解:(1)因污水处理水池的长为x米,则宽为米,总造价y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由题设条件

  解得12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5,16].

(2)先研究函数y=f(x)=800(x+)+16000在[12.5,16]上的单调性,对于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨设x1x2,则f(x2)-f(x1)=800[(x2x1)+324()]=800(x2x1)(1-),∵12.5≤x1x2≤16.∴0<x1x2<162<324,∴>1,即1-<0.又x2x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数.∴当x=16时,y取得最小值,此时,ymin=800(16+)+16000=45000(元),=12.5(米) 

综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000元.

8.解:∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数.

f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,从而,当f(x)<0时,有x<-1或0<x<1,

则集合N={m|fg(θ)]<θ={m|g(θ)<-1或0<g(θ)<1,

MN={m|g(θ)<-1.由g(θ)<-1,得cos2θ>m(cosθ-2)+2,θ∈[0,],令x=cosθ,x∈[0,1]得:x2>m(x-2)+2,x∈[0,1],令①:y1=x2,x∈[0,1]及②y2=m(m-2)+2,显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由x∈[0,1]得y1>y2.∴m>4-2,故MN={m|m>4-2}.