精英家教网> 试卷> 08高考数学奇偶性与单调性测试 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 ()设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数. ●案例探究 [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试 > 题目详情
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参考答案

难点磁场

(1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a)

(ex)=0.因此,有a=0,即a2=1,又a>0,∴a=1

(2)证法一:设0<x1x2,则f(x1)-f(x2)=

x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,

f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

f(x)在(0,+∞)上是增函数

证法二:由f(x)=ex+ex,得f′(x)=exex=ex.(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,ex>0,e2x-1>0.

此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.

歼灭难点训练

一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数.

答案:C

2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.

答案:C

二、3.解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上递减.

答案:(-∞,-1

4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x

b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞单调递增,故a>0.又知0<x1x,得x1+x2>0,

b=-a(x1+x2)<0.

答案:(-∞,0)

三、5.证明:(1)设-1<x1x2<+∞,则x2x1>0, >1且>0,

>0,又x1+1>0,x2+1>0

>0,

于是f(x2)-f(x1)=+ >0

f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.

(2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则且由0<<1得0<-<1,即x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根.

证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,则<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,若x0<-1,则>0, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.

6.证明:∵x≠0,∴f(x)=,

设1<x1x2<+∞,则.

f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)

7.证明:(1)不妨令x=x1x2,则f(-x)=f(x2x1)= 

=-f(x1x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

f(x+a)=fx-(-a)]=.

f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

8.(1)证明:设x1x2,则x2x1>-,由题意f(x2x1)>0,

f(x2)-f(x1)=f[(x2x1)+x1]-f(x1)=f(x2x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2x1)-1=f(x2x1)+f(-)-1=f[(x2x1)-]>0,

f(x)是单调递增函数.

(2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.