湖北省鄂州市2009届高三五月模拟试题
数学（文科）
命题人：胡俊峰 审题人：王兆良
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设
＝(2，－3)，
＝(－4，3)，
＝(5，6)，则(
＋3)?等于
A．(－50，36) B．－
2．“a＝
”是“对任意的正数x，2x＋
≥
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．曲线y＝x3－x2＋4在点(2，8)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是
A．1 B．
4．正方体AC1中，P是棱AD的中点，则二面角A―BD1―P的大小是
A．
B．
C．
D．
5．若f (x)＝－x2＋2ax与
在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．(0，1) 
6．已知f (x)＝
，当θ∈(
π，
π)时，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为
A．2sinθ B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ
7．二对夫妻排成一行，夫妻不相邻的不同排法共有（ ）种
A．6 B．
8．已知样本：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，12，那么频率为0.3的范围是
A．5.5～7.5 B．9.5～
9．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F 的直线l从上到下依次交抛物线于点A、B，交其准线于C，若
，
＝3，则抛物线的方程为
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝
10．若圆x2＋y2?4x?4y?10＝0上至少有三个不同点到直线l；ax＋by＝0的距离为2
，则直线l的倾斜角范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在相应位置上。
11．一条光线从点(5，3)射入，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα＝3，则反射光线所在直线方程是______________．
12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点，则直线AB恒过定点______________．
13．已知数列
满足a1＝1，an＝a1＋的通项an＝_____________．
14．已知f (x)是R上的函数，且f (x＋2)＝
，若f (1)＝
，则f (2009)＝_______．
15．若直角三角形的周长为
．则它的最大面积为_______________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知函数
，
．
⑴求f (x)的最值；
⑵若不等式
＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P―ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F分别是BC、PC的中点．
⑴证明：AE⊥PD；
⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
，求二面角E―AF―C的余弦值．
18．（本小题满分12分）当使用一仪器去测量一个高为
测量值
次数
5
15
10
15
5
⑴根据以上数据，求测量50次的平均值；
⑵若再用此仪器测量该建筑物一次，求测得数据为
⑶假如再使用此仪器测量该建筑物三次，求恰好两次测得数据为
19．（本小题满分12分）如图所示，将边长为2的正三角形铁皮的三个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高x与底面边长之比不超过正常数t．
⑴把正三棱柱容器的容积V表示为x的函数，并写出函数的定义域；
⑵x为何值时，容积V最大？并求最大值．
20．（本小题满分13分）设f (x)＝
，方程f (x)＝x有唯一解，数列{xn}满足f (x1)＝1，
xn＋1＝f (xn)(n∈N*)．
⑴求数列{xn}的通项公式；
⑵已知数列{an}满足
，
，求证：对一切n≥2的正整数都满足
．
21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量
与向量
共线．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设M为椭圆上任意一点，且
．证明：λ2＋μ2为定值．
鄂州市2009届高三五月模拟试题
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．
12．
13．
14．2+
15．
三、解答题
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1+2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
时
9分
结合⑴知：
故m的取值范围是（1，4） 12分
17．⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。 4分
⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角 5分
而tan∠AHE＝
故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，则AE＝，此时
∴AH＝
，由平几知识得PA＝2 7分
因为PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC
过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO
为二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30o＝
，AO＝AE?cos30o＝
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45o＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值为
12分
注：向量法及其它方法可参照给分。
18．⑴设平均数为
，
即测量50次的平均值为
⑵
7分
⑶每一次测得数据为
10分
故所求概率
12分
19．⑴容器底面是边长为(2－2x)的正三角形，高为x
∴
∴
故定义域为
⑵
，
5分
令V'＝0得x＜
或x＞1；V'＜0得
∴V在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减
当
时，x＝时，V最大，Vmax＝V()＝
当
即
时，由V在(0，)上递增知
x＝
时，V最大，Vmax＝
20．⑴由
得ax2＋(
∴当且仅当
时，有唯一解x＝0，∴
当
得x1＝2，由
∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列
∴
7分
⑵
又
∴
且an＞0，a2＝
∴
即
当n≥2时，
故
21．⑴设椭圆方程为
，F(c，0)
则AB∶y＝x－c代入
得(a2＋b2)x2－
令A(x1、y1)、B(x2、y2)，则
由
与
共线
得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，又y1＝x1－c，y2＝x2－c
∴3(x1＋x2－
∴
即a2＝3b2，故
7分
⑵由⑴知a2＝3b2，椭圆方程可化为x2＋3y2＝3b2
设
＝(x，y)，则(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)
∴
∵M(x，y)在椭圆上
∴(λx1＋μx2)2＋(λy2＋μy2)2＝3b2
即λ2(x12＋3y12)＋μ2(3x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2 ①
由⑴知，x1＋x2＝
，a2＝
，b2＝
∴x1x2＝
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋
＝
又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2代入①得λ2＋μ2＝1 14分
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