通州区初三年级模拟考试（一）
数学试卷
2009年5月
考
生
须
知
1．本试卷共4页，八道大题，25个小题，满分120分.考试时间为120分钟.
2．请在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号.
3．试题答案一律用黑色钢笔、签字笔按要求填涂或书写在答题卡划定的区域
内，在试卷上作答无效；作图题可以使用黑色铅笔作答.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8个小题，每小题4分，共32分）
1．
的相反数是
A． B．― C．
D．―
2．化简（-a2）3 的结果
A．
B．
C．
D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．
C．
4．在Rt△ABC中，∠C = 90°，若BC =
A．
B．
D．
5．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是可估计2 000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生有
A．56 B．560 C．80 D．150
6．将抛物线
向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是
A．
B． C．
D．
7．若|x+3|+
=0，则x+2y的值为（
）
A．0 B．－1 C．1 D．5
8．如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C′ 处的最短路径是
A．
B．2
C．2
D．4
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．分解因式：a3b-ab
=_________________________.
10．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后
与“细”字相对的字是 ．
11．如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠B与∠AED都是直角，
点E在AC上，∠D＝30°，如果△ABC经过旋转后能与△AED
重合，那么旋转中心是点______，逆时针旋转了______________度.
12．对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是 ，自然数n
的分裂数中最大的数是 .
 |
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13．计算：
-2cos30°+(
)-2-?1-
?.
14．求不等式组
的整数解.
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，延长底边AB到E，
使得BE=DC.
求证：AC=CE .
16．已知2x+y=0，求分式 
?(x+y)的值.
17．已知：反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点M（1，3），且一次函数的图象与y轴交点的纵坐标是2.
求：（1）这两个函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围是 .
四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）
18．如图，在三角形ABC中，AC=BC，若将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，
得到△CEF，连结AE.
（1）试猜想，AE与CF有何位置上的关系？
并对你的猜想给予证明；
（2）若BC=10，tan∠ACB=
时，求AB的长.
19．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径
作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，
DC的延长线与AB的延长线交于点P .
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.
五、解答题（本题满分6分）
20．在“六一”儿童节来临之际，初中某校开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动，全校1000名学生每人都捐赠了一定数量的图
书.已知各年级人数分布的扇形统计图如
图（1）所示.学校为了了解各年级捐赠图
书情况，从各年级中随机抽查了200名学
生，进行捐赠图书情况的统计，绘制成如
图（2）的频数分布直方图.根据以上信息
解答下列问题： （1） （2）
（1）本次调查的样本是 ；
（2）从图（2）中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是 ；
（3）随机抽查的200名学生中初三年级学生共捐赠图书多少册？
（4）估计全校共捐赠图书多少册？
六、解答题（共2道小题，第21题满分5分，第22题满分4分，共9分）
21．列方程解应用题：
一列火车从车站开出，预计行程450千米，当他开出3小时后，因抢救一位病危旅客而多停了一站，耽误了30分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度？
22． 若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的两实数根为x1 、x2 ，且x1＋x2=
,
x1?x2=
,两实数根的倒数和是S.
求：（1）m的取值范围；
（2）S的取值范围.
七、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）
23．已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x.
（1）用x的代数式表示△AEF的面积；
（2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE
重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关
系式，并写出自变量x的取值范围.
24．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x
……
-1
0
1
2
3
4
……
x2+bx+c
……
3
-1
3
……
（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，
并填齐表格空白处的对应值；
（2）设y=x2 + bx + c的图象与x轴的交点为
A、B两点（A点在B点左侧），与y轴
交于点C，P为线段AB上一动点，过P
点作PE∥AC交BC于E，连结PC，
当△PEC的面积最大时，求P点的坐标.
八、解答题（本题满分8分）
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
图 （1）
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数
量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线
段CB延长线上时，如图（2），其它条件 图（2）
不变，（1）中探究的结论是否发生改变？
请说明你的猜想并给予证明.
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1-5. BCCBB 6-8. DCA
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题号
9
10
11
12
答案
ab(a＋1)(a－1)
真
A
60°
13
2n－1
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13、计算：
-2cos30°+(
)-2-?1-
?
解：原式=3－2×
＋4 －（－1） ………………………4分
= 3－＋4－＋1
= ＋5
………………………………5分
14、求不等式组
的整数解
解：由 x-2(x－1)≤3
得 x≥－1 ……………………………………………2分
由 x＋1＞x
得 x＜2 ……………………………………………4分
∴不等式的整数解为－1、0、1 ……………………………5分
15、证明：在等腰梯形ABCD中
∵ AB∥CD AD=CB ，
∴ ∠DAB=∠CBA ……………1分
又 ∵∠CDA＋∠DAB=180°
∠CBA＋∠CBE=180°
∴∠CDA=∠CBE ………………2分
又∵ BE=DC …………………3分
∴△ADC≌△CBE …………4分
∴AC=CE ……………………5分
16、已知2x+y=0，求分式 
.(x+y)的值.
解：.(x+y)=
. (x+y)=
………………………2分
当 2x+y=0时 ，y=-2x， …………………………………4分
原式=
=
=-1
…………………………………5分
17、解：（1）设反比例函数解析式为y =
(k≠0)
把M（1，3）点代入y= 解得k=3
∴反比例函数解析式为y=
…………………………………2分
设一次函数解析式为y=kx＋2 (k≠0)
把M（1，3）点代入y=kx＋2 解得k=1
∴一次函数解析式为y=x＋2 ………………………………4分
（2）x的取值范围是 0＜x＜ 1 …………………………5分
四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）
18、 （1） AE⊥CF ………………………………1分
证明：连结AF
∵ AC=BC
又∵△ABC沿BC方向向右
平移BC长的距离
∴AC=CE=EF=AF …
∴ 四边形ACEF是菱形 ………………………………2分
∴ AE⊥CF
（2）作AD⊥BC于D …………………………………3分
∵tan∠ACB=
设 AD=3K DC=4K
在Rt△ADC中 ,AC=10
∵ AD2+DC2=AC2
∴ K=2
∴ AD=6cm DC=8cm …………4分
∴ BD=2
在Rt△ADB中,根据勾股定理
∴ AB=2
cm …………………5分
19、 （1）证明：连结OC …………………1分
∵PD⊥AE于D
∴∠DCE＋∠E=900
∵ AB=AE , OB=OC
∴∠CBA=∠E=∠BCO
又∵∠DCE=∠PCB
∴∠BCO＋∠PCB=900
∴PD是⊙O的切线 ……………2分
（2）解：连结AC ………………3分
∵ AB=AE=5 AB是⊙O的直径
BE=6
∴ AC⊥BE且EC=BC=3
∴ AC=4
又 ∵ ∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90°
∴△ EDC∽△BCA ………………4分
∴
=
即
=
∴ DC=
………………………………5分
五、解答题（本题满分6分）
20、解：（1）本次调查的样本是
所抽取的200名学生捐赠图书的情况； …………………………1分
（2）人均捐赠图书最多的是初二年级； …………………………2分
（3）200×35％×5=350（册）；
答：初三年级学生共捐赠图书350册 . …………………………4分
（4）1000×35％×4.5＋1000×35％×5＋1000×30％×6=5125（册）
答：估计全校共捐赠图书5125册. …………………………6分
六、解答题（共2道小题，第21题满 分5分，第22题满分4分）
21、（本题满分5分）
解：设这列火车原来的速度为每小时x千米………1分
－
=
……………………………2分
12x=900
x=75 ………………………………3分
经检验 x=75 是原方程的解 ………………………4分
答：设这列火车原来的速度为每小时75千米.……5分
22、（本题满分4分）
解：（1）b2－4ac=－12m＋9≥0
∴ m≤
………………………………1分
又 ∵ m2≠0
∴ m≤且m≠0
…………………………2分
（2）S=
＋
=
=2m－3
∴ m=
即 ≤
∴S≤－
…………………………3分
又 ∵ m≠0 即 ≠0
∴S≠－3
∴S≤－且S≠－3
……………………4分
七、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）
23、(1)解：在等边△ABC中
作AD⊥BC于D，交EF于H
∴ BD=DC=
又∵ 
tan60°=
∴ AD=a ………1分
∵ EF∥BC
∽
∴ 
=
=
∴ AH=x ………………………………2分
∴ S△AEF=AH×EF
S△AEF=x2=
x2 ………………………………3分
(2) 解：①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时
y=x2 (0＜x≤a ）
…………………………4分
②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A′处时，
A′F交BC于M， A′E交BC于N，连结AA′交EF于H，
交BC于D
∴ =
∴ 
=
又 ∵ AH= A′H
∴ 
=
∴ 
=
∴ 
=
2
………………………………5分
=
∴ S△A’MN=
∴ S四边形MFEN=x2-
…………………………………6分
∴ y=-
(a＜x＜2a ） ……………………7分
24、解：（1）当x=0和x=4时，均有函数值y=3,
∴ 函数的对称轴为x=2
∴顶点坐标为（2，-1）
即对应关系满足y=（x-2）2-1,
∴ y=x2－4x＋3 ……………………………1分
∴当x=-1时，y=8;x=1时，y=0;x=3时，y=0
x
……
-1
0
1
2
3
4
……
x2+bx+c
……
8
3
0
-1
0
3
……
…………………………2分
（2） 解：函数图像与x轴交于A（1，0）、B（3，0）；
与y轴交于点C（0，3）
设P点坐标为（x,0），则PB=3－x ………3分
∴S△BCP=(3－x)
∵PE∥AC
∴△BEP∽△BCA 作EF⊥OB于F……4分
∴
=
即
=
∴ EF=(3－x)
……………………………………5分
∴S△BPE=BP?EF=（3-x）2
∵S△PEC= S△BCP－S△BPE …………………………………………6分
∴S△PEC
=(3－x)－（3-x）2
S△PEC =－x2＋3x－
=－(x－2)2＋
∴当x=2时，y最大=
∴ P点坐标是（2，0） …………………………………7分
八、解答题（本题满分8分）
25、（1） DE2=BD2+EC2 ……………………………………1分
证明：根据△AEC绕点A顺时
针旋转90°得到△ABE’
∴ △AEC≌△ABE’ ……………………2分
∴
BE’=EC, A E’=AE
∠C=∠AB E’ , ∠EAC=∠E’AB
在Rt△ABC中
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB=45°
∴ ∠ABC＋∠AB E’=90°
即 ∠E’BD=90° ………………………3分
∴ E’B2＋BD2= E’D2
又∵ ∠DAE=45°
∴ ∠BAD＋∠EAC=45°
∴ ∠E’AB＋∠BAD=45°
即 ∠E’AD=45°
∴ △A E’D≌△AED
∴ DE=D E’
∴ DE2=BD2+EC2 ……………………………4分
（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立 ………5分
证明：将△ADB沿直线AD对折，
得△AFD，连FE
∴ △AFD≌△ABD ……………6分
∴AF=AB，FD=DB
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD
又∵AB=AC，∴AF=AC
∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°
∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB
∴ ∠FAE=∠EAC
又∵ AE=AE
∴△AFE≌△ACE
∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45°
∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°
∴ ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90° …………………7分
∴在Rt△DFE中
DF2＋FE2=DE2
即DE2=BD2+EC2 …………………………………………………8分
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