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                                                                    试卷类型：A

    2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

                  数  学 (理 科)       　　　　2009.3 

    本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。

    注意事项：

    1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校、以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。

    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

    3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

    4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

    5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

     

    参考公式：

    锥体的体积V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

    如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

    如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)?P(B).     

    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的

    1.函数f(x)=sin2x的最小正周期为

    A.π              B. 2π           C. 2πw.w.w.k.s.5 u.c.o.m            D. 4π

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    2.已知z=i(1+i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于

    A.第一象限       B. 第二象限     C. 第三象限      D. 第四象限

     

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    3.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进

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    行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5

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    万元 ，则11时至12时的销售额为    

    A. 6万元            B. 8万元       

    C. 10万元 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m           D. 12万元

     

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    4.已知A(－1，a)、B(a，8)两点的直线

    与直线2x－y+1=0平行，则a的值为

    A.－10              B. 17            

    C. 5                 D.2

     

     

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    若输出的S的值等于16，那么在程序框

    图中的判断框内应填写的条件是w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

    A.i>5      B.i> 6    C.i> 7     D.i> 8

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    6.已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的

    解集是R，q：－1<a<0，则p是q 的那么

    A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件       

    C. 充要条件      D. 既非充分又非必要条件

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    7.在(1－x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，

    若2a2+an-5=0， 则自然数n 的值是

    A.7        B.8      C.9      D.10

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    8.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数

    在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为             

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    A.         B.        C.         D.                                                     

    每小题5分，满分30分.

    (一) 必做题 (9～12题)

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    二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，

    9.若log2(a+2)=2，则3a=      ．

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    10. 若 ，则实数a的值是_________.

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    11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)

    如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.  

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    12.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*

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    都有，且1<Sk<9，则a1的值

    为______，k的的值为________.

     

     

    (二)选做题 (13～15题，考生只能从中选做两题)

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    13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆

    ρ=4截得的弦长为          ．                                                                                       

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    14. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，

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    PO交圆O于B，C两点，AC =，∠PAB=300，则线段PB的长为        .

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    15. (不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，

    则a的取值范围为_____________.

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    三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

    16.(本小题满分12分)

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    已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=．

    (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．

     

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    17.(本小题满分12分)

    甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，

    击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别

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    为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设

    甲、乙两人射击互不影响.

    (1)求p的值；

    (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

     

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    18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，

    AB⊥AC，D、E、F分别是棱的中点，连接DE，DF，EF.

    (1)求证: 平面DEF⊥平面ABC；

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    (2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19. (本小题满分12分)

    某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)

    (1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；

    (2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

     

     

     

     

    20 (本小题满分14分)

    已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切

    (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

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    (2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量

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    ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

     

     

     

     

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    21. (本小题满分14分)

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    已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.

    (1)求数列{ an}和{bn}的通项公式；

    (2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

         

     

     

     

    2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

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    一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题，每小题5分，满分40分．

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    A

    B

    C

    D

    A

    C

    B

    D

    二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共7小题，每小

    题5分，满分30分．其中13～15题为选做题，考生只能选做两题. 第12题的第一个空2分，第二个空3分．

    9.9  ；10. ；11. 80； 12.－1，4；  13.；  14.1.  15.

    三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

    16.(本小题满分12分)

    (本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力)

    已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=．

    (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．

    解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

    ∴sinB=.                              ……2分

    由正弦定理得，                          ……4分

     .                           ……6分

    (2) ∵S△ABC=acsinB=4，                             ……8分

     ∴，  ∴c=5.                      ……10分

    由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，

    ∴.……14分

    17.(本小题满分12分)

    甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，

    击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别

    为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设

    甲、乙两人射击互不影响.

    (1)求p的值；

    (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

    (本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力)

    解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则

    ……1分

    依题意得，                            ……3分

    解得，故p的值为.                               ……5分

    (2)ξ的取值分别为0，2，4.                               ……6分

    ，             ……8分

    ，                                      

     ，           ……10分

    ∴ξ的分布列为

    ξ

    0

    2

    4

    P

    ……12分

    ∴Eξ=                     ……14分

    18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，

    AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF.

    (1)求证: 平面DEF∥平面ABC；

    (2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..

    (本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

                          证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点，

    ∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，

    ∵DE平面PAB，ABÌ平面PAB，

                               ∴DE∥平面PAB，           ……2分

     ∵DE∩DF=D，DEÌ平面DEF，

       DFÌ平面DEF，

                               ∴平面DEF∥平面ABC.       ……4分

                             (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：

    解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2，

    ∴AB2 +AC2 =BC2=4，

    ∴三棱锥P-ABC的体积为

    ……6分

    .

    当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=.

    解法2：设AB=x，在△ABC中，(0<x<2)，

    ∴三棱锥P-ABC的体积为

                                               ……6分

                

    ，

     ∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即时，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=.                                     ……8分

    求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，给出如下两种解法：

    解法1：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，

    ∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，

    ∵EFÌ平面DEF，∴ P A⊥EF.

    ∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AGÌ平面PAG，∴EF⊥AG，

    ∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角.                   ……10分

                             在Rt△EDF中，DE=DF=，

                             ，∴.

                              在Rt△ADG中，

    ，

    ∴.

    ∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为.                ……14分

    解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(，0，1)，

    F(0，，1). ∴.       ……9分

    设为平面AEF的法向量，

    则，

    即，令，则，z=－1,

    ∴为平面AEF的一个法向量.              ……11分

    ∵平面DEF的一个法向量为，

    ∴，

                                                           ……13分

    而与所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.  

    ∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为.                 ……14分

    19. (本小题满分12分)

    某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)

    (1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；

    (2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

    (本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解和应用意识)

    解：(1) 生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

    (2) 生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时，则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者，

    令f(x)≥g(x)，则，解得，

    所以，当1≤x≤32时，f(x)>g(x)；当33≤x≤492时，f(x)<g(x).

    故                 ……6分

    当1≤x≤32时，，故h(x)在[1，32]上单调递减，

    则h(x)在[1，32]上的最小值为(小时)；       ……8分

    当33≤x≤49时，，故h(x)在[33，49]上单调递增，

    则h(x)在[33，49]上的最小值为(小时)； ……10分

    ∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值为h(32)， ∴x=32.

    答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32.        ……12分

    20 (本小题满分14分)

    已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切

    (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

    (2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量

    ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

    (本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

    解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.

    ∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M内，

    设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，

    即|CM+|CA|=8>|AM|，                                    ……3分

    ∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，

    设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2，

    ∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.

    ……5分

    (2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，

    设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=.

    △1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0.        ①           ……7分

    由消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，

    设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=.

    △2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0.        ②           ……9分

    ∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，

    ∴，∴2km=0或，

    解得k=0或m=0，                                   ……11分

    当k=0时，由①、②得，

    ∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；

    当m=0时，由①、②得，

    ∵k∈Z，∴k=－1，0，1.

    ∴满足条件的直线共有9条.                          ……14分

    21. (本小题满分14分)

    已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.

    (1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；

    (2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.     

    (本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)

    (1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，

    ∴                                        ……2分

    由an+an+1=2n，得，故数列

    是首项为，公比为－1的等比数列.                 ……4分

    证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，

    ∴                                        ……2分

    ∵，

    故数列是首项为，公比为－1的等比数列.             

       ……4分

    (2)解：由(1)得，即，

    ∴

                                 ……6分

    ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]

    ，                        ……8分

    要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，

    即对任意n∈N*都成立.

    ①当n为正奇数时，由(*)式得，

    即，

    ∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

    当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m           ……10分

    ①当n为正奇数时，由(*)式得，

    即，

    ∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

    当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

    ②当n为正偶数时，由(*)式得，

    即，

    ∵2n－1>0，∴对任意正偶数n都成立.

    当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

    综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).                                            ……14分


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