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山东省外国语学校2009届高三年级统练
数学（文）科
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
1．集合
，集合
，则
等于 （ ）
A．
B． 
C．
D．
2．直线
的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
=
，则
2
等于 （ ）
A．
B．
C．±
D．±
4．已知回归直线的斜率的估计值是2.5，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）
A．
=4x＋5 B．=2.5x+=4x-5 D．
=2.5x-5
5．某学校有教师160人，其中高中教师有104人，初中教师32人，小学教师24人，现从
中抽取一容量为20的样本，用分层抽样方法抽取的初中教师人数为 （ ）
A．3人 B．4人 C．7人 D．12人
6．如右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的表
面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①双曲线
的离心率为
；
②抛物线
的焦点坐标是
；
③椭圆
上任一点P到两焦点距离之和为6；
④圆
与圆
恰好相切.
其中所有真命题的序号为 （ ）
A．①④ B．②④
C．①③ D．③④
8．右图中程序运行后输出的结果为 （ ）
A．3 43 B． 43 3
C．-18 16 D．16 -18
9．已知x、y满足约束条件
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
是R上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．
C．
D．
11．已知实数
成等比数列，且曲线
的极大值点坐标为
，则
等
于 （ ）
A．2 B．
12．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分
钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，
则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．若不等式
对一切
恒成立，则
的取值范围为
．
14．若
是纯虚数，则
的值为 ．
15．已知直线
,
，平面,
，给出下列命题：
① 若
，且
，则
；
② 若
，且
，则
；
③ 若
，且，则；
④ 若，且，则．
其中不正确的命题的序号是 ．
16．已知
，
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在
中，角
的对边分别为
，且
．
（1）求
的值；
（2）若
，求和
的值．
18．（本小题满分12分）
已知等比数列｛
｝中
，
＝2，且
，
，
成等差数列．
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设
，且
，求．
19．（本小题满分12分）
一个盒子中装有标号为0，1，2，3，4，5的6张标签，随机地选取两张标签．
（1）求选出的两张标签的数字之和为5的概率；
（2）如果用选出的两张标签上的数字能组成一个两位数，求该两位数能被5整除的概率．
20．（本小题满分12分）
在三棱锥
中，
，
．
（1）证明：
⊥
；
（2）求二面角A-BC-S的大小；
（3）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
21．（本小题满分13分）
如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，且点M（2，1）在椭
圆上，平行于OM的直线
在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）设直线MA、MB斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2=0．
22．（本小题满分13分）
已知函数
的图象经过原点，且在
处取得极值，曲线
在原点处的切线与直线
互相平行．
（1）求
的解析式；
（2）求在
上的单调区间；
（3）已知任意实数和求证：|
?
|
成立．
参 考 答 案
一、选择题
1．解析：
，
，故选B．
2．解析：
，
，，故必要但不充分条件是A．
3．解析：两边平方可得．故选B．
4．解析：样本点的中心一定在回归直线上，故选D．
5．解析：分层抽样一定要按比抽取，比为
，故选B．
6．解析：该几何体为四棱锥，故选C．
7．解析：①离心率为
；②焦点坐标是
，故选D．
8．解析：选A．
9．解析：
表示区域内的点与原点连线的斜率，故选C．
10．解析：
，故选B．
11．解析：曲线的极大值点坐标为（1，2），故选A．
12．解析：因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，H与下落时间t（分）的函数关系反映
在图像上先慢后快．故选B．
二、填空题
13． 
14．
15．②③ 16．
13．解析：
对一切恒成立，
所以
．
14．解析：
所以=．
15．解析：②③错
16．解析：由
得f(x+2)＝f(x-2)得f(x)为周期函数，
．
三、解答题
17．（1）解：由正弦定理得
，
所以可化为
，
∴
，
∴
即
，
∴
，又
，
∴
,
又
是三角形的内角,即
,
∴
.
（2）解：由
可得
，又
，故
，
由
可得
，
所以
即
，∴
．
18．（1）解：设数列｛｝的公比为q，由，，成等差数列，
，即
，
解得：
或
；
，
，
∴数列｛｝的通项公式为：
．
（2）
，
，
解得
（舍去），
．
19．解：（1）从6张标签中取两张标签基本事件有：0-1，0-2，0-3，0-4，0-5，1-2，1-3，1-4，
1-5，2-3，2-4，2-5，3-4，3-5，4-5，共15种，
其中两张标签数字之和为5的基本事件有：0-5，1-4，2-3，共3种，
每个基本事件出现的概率相等，
所以选出的两张标签的数字之和为5的概率为
（2）任取两张标签能组成的两位数共有：十位是1的有5个；十位是2的有5个；十位
是3的有5个；十位是4的有5个；十位是5的有5个；总共有25个．
能被5整除的有：个位是0的5个，个位是5的有4个，共9个，
每一个两位数出现的概率相等，所以所求的概率为
20．解：（1）
且
平面
，
∴
为
在平面内的射影．
又
⊥， ∴⊥．
（2） 由（1）⊥，又⊥，
∴
为所求二面角的平面角．
又∵
=
=4，
∴=4 ． ∵=2 ， ∴=60°
即二面角
大小为60°
（3）过
作
于D，连结
,
由（2）得平面
平面
,又
平面
,
∴平面
平面,且平面
平面
,
∴
平面.
∴
为
在平面内的射影.
.
在
中，
在
中，
，
.
∴
=.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
21．解：（1）设椭圆方程为
（a>b>0）,
则
∴所求椭圆方程
.
（2） ∵直线∥DM且在y轴上的截距为m，∴y=x+m.
由
,
∵与椭圆交于A、B两点,∴△=（
-2<m<2（m≠0）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则k1=
，k2=
由x2+2mx+
而k1+k2=
+
=
（*）
又y1=x1+m,y2=x2+m, ∴（*）分子=（x1+m-1）（x2-2）+（ x2+m -1）（x1-2）
=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=
22．（1）解：由题意有f(0)= c=0，fノ(x)=3 x2+2ax+b，且fノ(1)= 3+
又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=fノ(0)= b，而切线与直线互相平行，
∴b=?3．代入3+
故f(x)的解析式为f(x)=x3?3x．
（2）解：由fノ(x)=3x2?3=3(x?1) (x+1)，
，可知，f(x)在(－2，?1)和[1， 2]
上递增；在[－1，1]递减．
所以在上的单调区间为(－2，?1)，[1， 2]，[－1，1]．
（3）证明：∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]．
由（2）可知f(x)在(－2，?1)和[1， 2]上递增；在[－1，1]递减．
又f(?2)= ?2，f(?1)= 2，f(1)= ?2，f(2)= 2，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为?2和2．
∴对于任意实数α和β恒有| f(2sinα)?f(2sinβ)|≤
2
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