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    2005年普通高等学校招生全国统一考试

    理科数学[必修+选修Ⅱ]

    一．选择题（每小题5分，共60分）

    1．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是：

    A.        B.       C.      D. 2

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    2．正方体ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么正方体的过P、Q、R的截面图形是：

    A.三角形      B. 四边形      C. 五边形      D. 六边形

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    3．函数y= (x≤0)的反函数是：

    A. y= (x≥?1)     B. y= ? (x≥?1)    

    C. y= (x≥0)       D. y= ? (x≥0)

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    4．已知函数y=tanωx在(－,)内是减函数，则：

    A. 0<ω≤1   B. －1≤ω<0    C. ω≥1     D. ω≤－1

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    5．设a、b、c、d∈R，若为实数，则：

    A. bc+ad≠0        B. bc－ad≠0        C. bc－ad＝0        D. bc+ad＝0

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    6. 双曲线的焦点是F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则到F1直线F2M的距离为：

    A.      B.   C.     D.

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    7．锐角三角形的内角A、B满足，则有：

    A.sin2A-cosB=0    B. sin2A+cosB=0    C. sin2A-sinB=0   D. sin2A+sinB=0

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    8．已知点A(, 1)，B(0,0)，C(, 0)。设∠BAC的一平分线AE与BC相交于E，那么有，其中λ等于：

    A.2          B.           C. －3           D. －

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    9．已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2－x－6>0}，则M∩N为：

    A. {x|－4≤x<－2或3<x≤7}    B. {x|－4<x≤－2或3≤x<7}

    C. {x|x≤－2或x>3}          D. {x|x<－2或x≥3}

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    10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量V=(4，－3)(即点Ｐ的运动方向与Ｖ相同，且每秒移动的距离为｜Ｖ｜个单位)，设开始时点Ｐ的坐标为(－10,10)，则5秒后点Ｐ的坐标为：

    A.( －2,4)    B.( －30,25)     C. (10, －5)    D. (5, －10)

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    11、如果a1、a2、…、a8是各项都大于零的等差数列，公差d≠0则：

    A.a1a8＞a4a5    B. a1a8＜a4a5     C. a1+a8>a4+a5   D. a1a8=a4a5

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    12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值是：

    A.       B.       C.       D.

    第Ⅱ卷

    题号

     1

     2

     3

     4

     5

     6

     7

     8

     9

    10

    11

    12

    答案

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    二．填空题（每小题4分，共16分）

    13. 圆心为(1,2)且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为___________.

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    14．设α是第四象限的角，若，则　　　　　

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    15．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有___个。

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    16．下面是关于三棱锥的四个命题：

    ①     底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；

    ②     底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

    ③     底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；

    ④       侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。其中，真命题的编号是__________(写出所有真命题的编号）。

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    三．解答题（本题有6小题，计74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

    17．（本题12分）设函数，求使的x的取值范围。

     

     

     

     

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    18．(本题12分)已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列。又，n=1,2,3,…。(1)证明：{bn}为等比数列；  (2)如果无穷等比数列{bn}各项和S等于，求数列{an}的首项a1和公差d.(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)

     

     

     

     

     

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    19、(本题12分) 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束。设各局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望。(精确到0.0001)

     

     

     

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    20．(本题12分)如图，四棱锥Ｐ―ABCＤ中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    21．(本题14分) P、Q、M、N四点都在椭圆上，Ｆ为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且.=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

     

     

     

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    22．(本题12分)

    已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex

    (1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    （吉林、黑龙江、广西）

    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    C

    D

    A

    B

    C

    C

    A

    D

    A

    C

    B

    C

     

    二、填空

    13 (x-1)2+(y-2)2=4；      14、- ； 15、 384；16、①②③④

    三、解答题：

    17、本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力

    解：∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.

    当x≤ -1时，原不等式化为：-2≥(舍)；

    当-1<x≤ 1时，原不等式化为：2x≥ ∴x≥.

    ∴此时，≤ x≤ 1；

    当x>1时, 原不等式化为：2≥,

    此时,x>1.

    故原不等式的解集为：{x|x≥ }.

     

    18、本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力

    ⑴证明：设{an}中首项为a1，公差为d.

    ∵lga1,lga2,lga4成等差数列  ∴2lga2=lga1?lga4   ∴a22=a1?a4.

    即(a1+d)2=a1(a1+3d)   ∴d=0或d=a1.

    当d=0时, an=a1, bn=, ∴，∴为等比数列；

    当d=a1时, an=na1 ,bn=，∴，∴为等比数列.

    综上可知为等比数列.

    ⑵∵无穷等比数列{bn }各项的和

    ∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a1 . bn=

    ∴, ∴a1=3.

    ∴.

     

    19、本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力

    解：ξ的所有取值为3,4,5

    P(ξ=3)=；

    P(ξ=4)=；

    P(ξ=5)=.

    ξ

    3

    4

    5

    P

    0.28

    0.3744

    0.3466

    ∴ξ的分布列为：

     

     

    ∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.

    20、本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力

    解：方法一：

    ⑴取PA中点G, 连结FG, DG.

     

    .

    ⑵设AC, BD交于O，连结FO.

    .

    设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

    设C到平面AEF的距离为h.

    ∵VC-AEF=VF-ACE, ∴. 即  ∴. ∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.

    即AC与平面AEF所成角为.

     

    21、本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等式的性质等基本知识及综合分析能力

    解：∵. 即.

    当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴. 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.

    ∵F(0, 1) ∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆中得：|MN|=, |PQ|=2.

    ∴S四边形PMQN=|MN|?|PQ|=××2=2.

    当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得：(k2+2)x2+2kx-1=0,  ∴x1+x2=, x1?x2=.

    ∴

    同理可得：.

    ∴S四边形PMQN=|MN|?|PQ|==

    (当且仅当即时，取等号).

    又S四边形PMQN =，∴此时, S四边形PMQN.

    综上可知：(S四边形PMQN )max=2,  (S四边形PMQN )min=.

     

    22、本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

    解：⑴令=0  即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0  ∴x2-2(a-1)x-2a=0

    ∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0  ∴x1=, x2=

    又∵当x∈(-∞, )时，>0；

    当x∈(, )时，<0；

    当x∈(, +∞)时，>0.

    ∴x1, x2分别为f (x)的极大值与极小值点.

    又∵；当时.

    而f ()=<0.

    ∴当x=时，f (x)取得最小值.

    ⑵f (x)在[-1, 1]上单调，则≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.

    而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).

    ∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).

    当g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立时有：

    ①当-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2时, g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍)；

    ②当a-1>1即a ≥ 2时, g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).

    当g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立时，有：

    ①当-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1时, g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；

    ②当0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2时, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；

    ③当1< a-1即a > 2时, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.

    故a∈[,+∞].

     

     

     


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