抚州一中2009届高三第四次模拟考试
数学试卷(理)
命题人 :高三数学组 考试时间 :2009.5
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设是实数,且是纯虚数,则的值是 ( )
2.若曲线的一条切线的斜率为,则切线的方程是 ( )
3.已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,有下列命题
①,; ②,,;
③;
④,,,.
其中正确的命题个数是 ( )
4.从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )
5.对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确定界.若,且,则的上确界为( )
6.已知,且,其中,则的值有可能是( )
或 或 或
7.设为所在平面内一点,且,则的面积与 的面积
比为 ( )
8.二项式展开式中,所有有理项(不含的项)的系数之和为 ( )
9.五人争夺某项比赛的前三名,组织者对前三名发给不同的奖品,若获奖,不是第一名,则不同的发奖方式共有 ( )
72种 30种 24种 14种
10.数列满足:,,若
对于任意都成立,则正整数的最小值为( )
11.设,分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率,为两曲线的一个公共点,且满足,则的值为 ( )
12.定义在上的函数满足:,,,且当时,,则的值为 ( )
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.若,则 ;
14.已知点A,B,C,D在同一球面上,AB平面,,若,,,则B、C两点间的球面距离是 ;
15.如果点在不等式组所表示的平面区域内,则的取值范围是 ;
16.设函数,表示不超过实数m的最大整数,则函数
的值域是 .
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知四棱锥的底面是正方形,侧棱的中点在底面内的射影恰好是正方形的中心,顶点在截面内的射影恰好是的重心.
(1)求直线与底面所成角的正切值;
(2)设,求此四棱锥过点的截面面积.
18.(本题满分12分)
某鲜花店的鲜花进价为每束元,销售价为每束元.若当天没有销完,则以每束元的价格处理掉.假如某一天该鲜花店订购鲜花数量是束、束或束,鲜花需求量的分布列是:
(束)
p
试问:(1)这一天鲜花需求量的期望值是多少?
(2)该花店这一天应订购多少束鲜花盈利最大?
19. (本题满分12分)
在锐角中,已知,且,.
(1)求角与的大小;
(2)是以为圆心,为半径的圆的直径,已知,求的最大值.
20.(本题满分12分)
已知, ,其中.
(1)当时,求证;
(2)若的最小值为,试求的值.
21.(本题满分12分)
已知直线,抛物线的顶点在原点,焦点在轴正半轴上,是抛物线上任意一点,是直线上任意一点,若的最小值为时,点的横坐标为.
(1)求抛物线方程以及的值;
(2)过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点,点是点关于原点的对称点.设点分有向线段所成的比为,
证明:;
(3)设为抛物线准线上任意一点,过作抛物线的两条切线,切点分别为,直线 是否恒过一定点?若恒过定点,请指出定点;若不恒过定点,请说明理由.
22.(本题满分14分)
已知数列满足递推关系且.
(1)在时,求数列的通项;
(2) 当时,数列满足不等式恒成立,求的取值范围;
(3) 在时,证明:.
抚州一中2009届高三第四次模拟考试
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
B
A
C
D
一、 填空题13.; 14.; 15.;16.
,即,当m为整数时,值为0,m为小数时,值为-1,故所求值域为{-1,0}
三、解答题
17.(1)
两两相互垂直, 连结并延长交于F.
同理可得
, …… (6分)
(2)是的重心
F是SB的中点
梯形的高
,.…… (12分)
【注】可以用空间向量的方法.
18.(1).…………4分
(2)若该天订购束鲜花,则盈利为元;
若该天订购束鲜花,盈利为,则其分布列为
(元).
若该天订购束鲜花,盈利为,则其分布列为
(元).
综上可知,该花店这一天应订购束鲜花盈利最大. …………12分
19.(1).
又.
.………6分
(2)
又,
.从而
当且同向时,.………12分
20.(1)当时,,,令.
列表分析:
故在上满足,从而.
设,,令,在上为减函数,故,由于 ,从而.……6分
(2).
①若,则,,,令,矛盾.
②若,令.
,令.
③若,则,,令,得(舍去).
综合①②③知. ……12分
21.(1)设抛物线方程为,
由
∴,∴抛物线方程为;
…………4分
(2)依题意,可设直线的方程为 代入抛物线方程得
①
设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根.…………6分
所以
由点分有向线段所成的比为,得
又点与点关于原点对称,故点的坐标是,从而.
……7分
所以 …………8分
(3)设,,,∵,
∴的方程为;
∵过,∴,同理
∴为方程的两个根;∴;……11分
又,∴的方程为
∴,显然直线过点……12分
22.(1)……4分
(2)由,而,, ,,
恒成立,,,即.……8分
(3) 由(2)得当时知,,设数列,,
.
,,故,,
,,
即 ………14分
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