2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面内，z所对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．极限存在是函数在点处连续的 （ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为
（ ）
A． B． C． D．
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
题：①若； ②若；
③若；
④若m、n是异面直线，
其中真命题是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
5．函数的反函数是 （ ）
A． B． C． D．
6．若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．在R上定义运算若不等式对任意实数成立，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是 （ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
9．若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
10．已知是定义在R上的单调函数，实数，
，若，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，
则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ ）
A．2+ B． C． D．21
12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．的展开式中常数项是 .
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
16．是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 .
已知三棱锥P―ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P―AB―C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形，其中
（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（本小题满分12分）
已知函数设数列}满足，数列}满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明；
（Ⅱ）证明
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产
值时，最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
21．（本小题满分14分）
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设
是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13．－160 14． 15．576 16．
三、解答题
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
（Ⅰ）证明： 连结CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.
设AB=a，则 …………8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.
，的边长为.………12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.……12分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中………8分 当最大.……10分
所以，当最大. S的最大值为…………12分
解法二： 因为 所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得 ………………10分
所以，当时，S最大，S的最大值为 …………12分
19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意………………（12分）
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12
分.
（Ⅰ）解：…………2分
（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4
…………6分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时 …………10分
取最大值. 解方程组
得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
由P在椭圆上，得
由，所以 ………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是
由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，，
由，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记，
由知，所以…………14分
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是的充要条件是…………………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
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