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    2004年普通高等学校招生全国统一考试

    理科数学（必修+选修Ⅱ）

     

    本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

     

    第I卷（选择题  共60分）

     

    文本框: 球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V= ， 其中R表示球的半径 参考公式：

           如果事件A、B互斥，那么

    P（A+B）=P（A）+P（B）

           如果事件A、B相互独立，那么

    P（A?B）=P（A）?P（B）

           如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

    n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

    Pn(k)=CPk(1－P)n－k

     

    一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。

    （2）已知函数                                                   （A）b   （B）－b       （C）       （D）－

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    （3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=                                  （A）     （B）    （C）                               （D）4

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    （4）函数的反函数是                                                                   （A）y=x2－2x+2(x<1)        （B）y=x2－2x+2(x≥1)

           （C）y=x2－2x  (x<1)                                                           （D）y=x2－2x  (x≥1)

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    （5）的展开式中常数项是                                                                        （A）14 （B）－14     （C）42       （D）－42

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    （6）设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是        

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    （7）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=                                        

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    （A）                 （B）                （C）                  （D）4

    （8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是                                                                   

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    （A）[－，]      （B）[－2，2]         （C）[－1，1]         （D）[－4，4]

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    （9）为了得到函数的图象，可以将函数的图象                 （A）向右平移个单位长度       （B）向右平移个单位长度

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           （C）向左平移个单位长度                  （D）向左平移个单位长度

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    （10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于                                                            

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           （A）                  （B）                  （C）                  （D）

    （11）从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为                                                             

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           （A）               （B）               （C）               （D）

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    （12）的最小值为                       （A）－     （B）－       （C）－－     （D）+

     

    第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

     

    （13）不等式|x+2|≥|x|的解集是              .

    （14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为                    .

    （15）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项

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    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

                1,           n=1,

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          an=               ,n≥2.

    （16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是        .

    ①两条平行直线                                      ②两条互相垂直的直线

    ③同一条直线                                          ④一条直线及其外一点

    在一面结论中，正确结论的编号是                 （写出所有正确结论的编号）.

    （17）（本小题满分12分）

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    三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    求函数的最小正周期、最大值和最小值.

    （18）（本小题满分12分）

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    一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

     

     

     

     

     

     

     

    （19）（本小题满分12分）

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    已知求函数的单调区间.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （20）（本小题满分12分）

    如图，已知四棱锥 P―ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

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    （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （21）（本小题满分12分）

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    设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

    （I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

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    （II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （22）（本小题满分14分）

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    已知数列，且

             a2k=a2k－1+(－1)k,

               a2k+1=a2k+3k,

    其中k=1,2,3,…….

    （I）求a3, a5；

    （II）求{ an}的通项公式.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2004年普通高等学校招生全国统一考试

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    一、选择题

    （1）D     （2）B     （3）C     （4）B     （5）A     （6）B

    （7）C     （8）C     （9）B     （10）A    （11）D    （12）B

    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

    （13）{x|x≥－1}   （14）x2+y2=4    （15）    （16）①②④

    三、解答题

    （17）本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

    解：

            

    所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

    （18）本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

    解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.

        P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3

        P(ξ=2)=  ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.

        P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2

        P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04

    于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

    ξ

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    0.09

    0.3

    0.37

    0.2

    0.04

    所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

    （19）本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

    解：函数f(x)的导数：

    （I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.

    所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

    （II）当

     由

    所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

    （III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0<x<－,

    由2x+ax2<0，解得x<0或x>－.

    所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

    （20）本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

        ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

    ∵PA=PD，∴OA=OD，

    于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

    由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

    ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

    由已知可求得PE=

    ∴PO=PE?sin60°=，

    即点P到平面ABCD的距离为.

    （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

    .连结AG.

    所以

    等于所求二面角的平面角，

    于是

    所以所求二面角的大小为  .

    解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

    ∴∠AGF是所求二面角的平面角.

    ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

    又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

    在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

    在Rt△PEG中，EG=AD=1.

    于是tan∠GAE==,

    又∠AGF=π－∠GAE.

    所以所求二面角的大小为π－arctan.

    （21）（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

    解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

    有两个不同的实数解.消去y并整理得

    （1－a2）x2+2a2x－2a2=0.                   ①

    双曲线的离心率

    （II）设

    由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

    （22）本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.

         解：（I）a2=a1+(－1)1=0,

                  a3=a2+31=3.

               a4=a3+(－1)2=4,

               a5=a4+32=13,

        所以，a3=3,a5=13.

        (II)  a2k+1=a2k+3k

                   = a2k－1+(－1)k+3k,

         所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,

        同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,

                 ……

             a3－a1=3+(－1).

        所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)

            =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],

        由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],

        于是a2k+1= 

            a2k= a2k－1+(－1)k

              =(－1)k－1－1+(－1)k

              =(－1)k=1.

    {an}的通项公式为：

        当n为奇数时，an­=

        当n为偶数时，

     


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