连云港市2009届高三数学模拟试题一
数学（必做题）
组卷：闫振仁
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1． 已知集合
,则
= ．
2．已知直线
，当
时，
．
3．若将ww w.ks 5u.c om一枚硬币连续抛掷三次，则出现“至少一次正面向上”的概率为 ．
4．
是纯虚数，则
．
5．若双曲线经过点
，且渐近线方程是
，则这条双曲线的方程是 ．
6．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ．
 |
7．已知正三棱锥
主视图如图所示，其中
中，
，则这个
正三棱锥的左视图的面积为 
8．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为 ．
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
9．若数列
满足
（
为常数），则称数列为等比和数列，k称为公比和．已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中
，则
．
10．动点
在不等式组
表示的平面区域内部及其边界上运动，则
的取值范围是 ．
11．已知
，则
=
．
12．已知
，设函数
的最大值为
，最小值为
，那么
．
13．已知P为抛物线
的焦点,过P的直线l与抛物线交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足
，则点Q总在定直线
上．试猜测如果P为椭圆
的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足，则点Q总在定直线 上．
14． 曲边梯形由曲线
所围成，过曲线
上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是________．
15（本小题满分14分）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在
中，
．
（Ⅰ）求
边的长度；
（Ⅱ）若点
是
的中点，求中线
的长度．
16（本小题满分14分）
如图，正三棱柱
中，已知
，
为
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）试在棱
上确定一点
，使得
平面
．
 |
17（本小题满分15分）
已知椭圆
的左、右焦点分别是
，Q是椭圆外的动点，满足
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
．
（Ⅰ）设
为点P的横坐标，证明
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=
若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
18（本小题满分16分）
为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种气体的体积比保护罩的容积少
（Ⅰ）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（Ⅱ）求博物馆支付总费用的最小值；
（Ⅲ）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于
，结果保留一位小数）．
19（本小题满分16分）
已知函数
（I）求
的极值；
（II）若
的取值范围；
（III）已知
20（本小题满分16分）
已知分别以
为公差的等差数列
,
．
（Ⅰ）若
，
,且存在正整数
,使得
,求证:
（Ⅱ）若
，
且数列
的前项
和
满足
,求 
的通项公式.
（Ⅲ）对于给定的正整数m，若
求
的最大值．
连云港市2009届高三数学模拟试题一
数 学（附加题）
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．
A．选修4―1 几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF?EC.
（Ⅰ）求证：ÐP=ÐEDF；
（Ⅱ）求证：CE?EB=EF?EP．
B．选修4―2 矩阵与变换
已知
，若
所对应的变换
把直线
变换为自身，求实数
，并求M的逆矩阵．
C．选修4―4 参数方程与极坐标
自极点O作射线与直线
相交于点M，在OM上取一点P，使得
，求点P的轨迹的极坐标方程．
D．选修4―4 不等式证明
设a、b、c均为实数，求证：
+
+
≥
+
+
．
22．必做题（本小题满分10分）
如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（Ⅰ）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．
23．必做题（本小题满分10分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为
．
（Ⅰ）求
的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为
，一等品率提高为
．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
一、填空题
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答题
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
因为
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因为
面
所以
；
（Ⅱ）
为
的三等分点，
．
连结
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上．
当
且
时，由
，得
．
又
，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
（Ⅲ） C上存在点M（
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M．
当时，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
当且仅当
，即V=
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．
（3）解法1：由题意得不等式：
当保护罩为正四棱锥形状时，
，代入整理得：
，解得
；
当保护罩为正四棱柱形状时，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面积最小不得少于
，所以，底面正方形的面积最小可取
解法2. 解方程
，即
得两个根为
由于函数
在
上递减，在
上递增，所以当
时，总费用超过8000元，所以V取得最小值
由于保护罩的高固定为
．所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，
m2
又底面正方形面积最小不得少于，
，所以，底面正方形的面积最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
当
为增函数；
当
为减函数，
可知
有极大值为
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上单调递增，
①，
同理
②
两式相加得
20．解：（1）证明：因为
所以
即
可化为:
当且仅当
即
时
故
（2）因为
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通项公式为..
（3）解：
所以
即S的最大值为
三、附加题
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊点法
在直线
上任取两点（2、1）和（3、3），…………1分
则
?
即得点
…………3 分
即得点
将
和
分别代入上得
则矩阵
…………6 分
则
…………10 分
法二：通法
设
为直线上任意一点其在M的作用下变为
…………1分
则
…………3分
代入得：
其与完全一样得
则矩阵
…………6分
则
…………10分
化为
， ………4分
，
………6分
设动点P
，M
，则 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程化为，………………4分
设P
，M
，
，………6分
又MPO三点共线，
，
…………8分
转化为极坐标方程． ………10分
21D．证明： ∵a、b、c均为实数．
∴
（
＋
）≥
≥
，当a=b时等号成立；
（＋
）≥
≥
，当b=c时等号成立；
（＋）≥
≥
．
三个不等式相加即得++≥++，
当且仅当a=b=c时等号成立.
22．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
设平面ABE的法向量为
，
则由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列为：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为
，则此时1件产品的平均利润为
依题意，
，即
，解得
所以三等品率最多为
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