海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（理科） 2009.1
学校 班级 姓名
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
一、选择题：本题大共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符
（1）已知全集U，
，那么下列结论中可能不成立的是 ( )
（A）A∩B=A （B）A∪B=B (C)( )∩B≠
(D)( )∩A=
（2）抛物线y=2x2的准线方程是 ( )
(A)y =
(B) y =
(C) y=
(D) y =
（3）将函数y=cos2x的图象按向量a=(
，1)平移后得到函数f(x)的图象，那么 ( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
（4）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c=
，B=30°那么角C等于
( )
(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°
（5）位于北纬x度的A、B两地经度相差90°，且A、B两地间的球面距离为
R(R为地球半径)，那么x等于 ( )
(A)30 (B)45 (C)60 (D)75
（6）已知定义域为R的函数f(x)对任意的x
R满足f(x+1)=
,且
=1,那么f(62)等于 ( )
(A)9个 (B)62 (C)64 (D)83
（7）已知
，
{1，2，3，4，5}，那么使得
?cos＜0的数对(，)共有 ( )
(A)9个 (B)11个 (C)12个 (D)13个
（8）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面，使得n条直线与平面所成的角均相等，那么这样的n ( )
(A)最大值为3 (B)最大值为4 (C)最大值为5 (D)不存在最大值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）
=
.
（10）如果f (x) =
那么f [f(2)]= ；不等式f(2x-1) ≥
的解集是
.
（11）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF
（12）若实数x、y满足 且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为
.
（13）已知直线x+y+m=0与圆x2 + y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，
≥ 那么实数m的取值范围是
.
（14）已知:对于给定的
N*，及映射f：A
B，
N*，若集合
A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集.
①对于q=2，A={a，b，c}，映射f:x
1，x
A,那么集合A的所有好子集的个数为
.
②对于给定的q，A={1，2，3，4，5，6，π}映射f :AB的对应关系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
π
f(x)
1
1
1
1
1
y
z
若当且仅当C中含有π和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集.写出所有满足条件的数组(q，y，z)： .
(15)（本小题共12分）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
已知函数f(x)=sin2x+2
（x+
）cos(x-)-cos2x
.
(Ⅰ)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(Ⅱ)求函数f (x)在
上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值.
（16）（本小题共12分）
已知函数g(x)是f (x)=x2（x＞0）的反函数，点M（x0，y0）、N(y0，x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点，l1、l2分别是函数f(x)、g(x)的图象在M、N两点处的切线，且l1∥l2。
（Ⅰ）求M、N两点的坐标；
（Ⅱ）求经过点O、M、N的圆的方程（O是坐标原点）.
(17)（本小题共14分）
如图，在正三棱柱ABC-A1 B
.
（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1DC；
（Ⅱ）求C1到平面A1DC的距离；
（Ⅲ）求二面角D-A
（18）（本小题共14分）
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T(单位：年)有关.若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x +a=0的两个根，且P2= P3.
（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；
（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.
（19）（本小题共14分）
已知点A(0，1)、B（0，-1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤
tanMQN恒成立，求的最小值.
（20）（本小题共14分）
如果正数数列{an}满足:对任意的正数M，都存在正整数n0，使得an0＞M，则称数列{an}是一个无界正数列.
(Ⅰ)若an=3+2sin(n)（n=1，2，3，…），bn= 分别判断数列{an}、
{bn}是否为无界正数列，并说明理由；
(Ⅱ)若an = n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有
…
＜
成立；
(Ⅲ)若数列{an}是单调递增的无界正数列，求证:存在正整数m，使得
…
＜m-2009.
海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
C
A
B
A
B
D
D
A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）1
（10）1，［0，1］ （11）
（12）
（13）（-2，
］∪［
，2)
（14）4，（5，1，3）
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
（15）（本小题共12分）
解：（Ⅰ）f
(x)=sin2x+2
………………………………………2分
=
=2sin(2x
)………………………………………………………14分
所以T=
=
.……………………………………………………………………5分
由
+
≤2x-
≤+
(k
Z)得
+
≤x≤kπ+
(kZ).…………………………………………………7分
所以函数f (x)的最小正周期为，单调递减区间为［
，
］（kZ）.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=2sin(2x-
).
因为x
，
，
所以
.…………………………………………………………8分
因为sin(
)=sin
＜sin
，
所以当x=
时，函数f (x)取得最小值-
；当x=时，函数f (x)取得最大值2.………………………………………………………………………………12分
（16）（本小题共12分）
解：（Ⅰ）因为f (x)=x2(x＞0)，所以g(x)=
（x＞0）.
从而f ′(x)=2x，g′(x)=
.…………………………………………3分
所以切线l1，l2的斜率分别为k1=f′(x0)=2x0，k2= g′(y0)= 
.
又y0=
( x0＞0)，所以k2=
.………………………………………4分
因为两切线l1，l2平行，所以k1= k2. …………………………………5分
从而(2x0)2 =1.
因为x0＞0.
所以x0=
所以M，N两点的坐标分别为(，
)，（，）.………………7分
（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过原点，所以F =0.因为M、N关于直线y =x对称，所以圆心在直线y=x
上.
所以D =E.………………………………………………………………………10分
又因为M (，)在圆上，
所以D =E =
.
所以过O、M、N三点的圆的方程为:x2+ y2 
.………12分
（17）（本小题共14分）
（Ⅰ）证明:连结AC1交A1C于点G，连结DG.
在正三棱柱ABC- A1B1 C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AG=GC1.
∵AD=DB，
∴DG∥BC1.………………………2分
∵DG
平面A1DC，BC1
平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC.…………………4分
解法一：(Ⅱ)连结DC1，设C1到平面A1DC的距
离为h.
∵四边形ACC1A1是平行四边形，
∴S△
= S△
.
∴V
=V
.
∵
S△ACD?AA1=
，
∴
=.…………………………………………………………………………6分
在等边三角形ABC中，D为AB的中点，
∴CD =
，CD⊥AB.
∵AD是A1D在平面ABC内的射影，
∴CD⊥A1D.……………………………………………………………………………8分
∴S△
=
…………………………………………………………………9分
∴h=
………………………………………………………………………9分
(Ⅲ)过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A1C交A1C于F，连结EF.
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，DE平面ABC，
平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
∴DE⊥平面ACC1A1.
∴EF是DF在平面ACC1A1内的射影.
∴EF⊥A1C.
∴∠DEF是二面角D-A1C-A的平面角.
……………………………………12分
在直角三角形ADC中，DE =
=
.
同理可求：DF=
∴sinDEF=
.
∵∠DEF
，
∴∠DFE=arcsin
.………………………………………………………………14分
解法二：过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B1C1于E.因为平面
ABC⊥平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1.分别以CB、OE、OA所在的直线为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=1，AA1=，△ABC是等
边三角形，所以O为BC的中点.则
O(0，0，0)，
，
，
，
，
C1
………………6分
(Ⅱ)设平面A1DC的法向量为n=(x，y，z)，
则
∵
=(
，0，)，
=（
，
，
），
∴
取x =，得平面A1DC的一个法向量为n =(，1，-3).………………………………8分
∴C1到平面A1DC的距离为： =
.…………………………………10分
（Ⅲ）同(Ⅱ)可求平面ACA1的一个法向量为n1=(，0，-1).………………………12分
设二面角D-A1C-A的大小为θ，则cosθ=cos＜n，n1＞=
=
.
∵
(0，π)，
∴
=arccos.…………………………………………………………………14分（18）（本小题共14分）
解（Ⅰ）由已知得P1+P2+P3=1.
∵P2=P3，∴P1+2P2=1.
∵P1，P2是方程25x2-15x +a=0的两个根，
∴P1+P2 =
.
∴P1=
，P2=P3=
.…………………………………………………………3分
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400.…………………………………4分
P(ξ=0) =×=
，
P(ξ=100) =2××=
，
P(ξ=200) =2××+×=
，
P(ξ=300) =2××=，
P(ξ=400) = ×=.……………………………………………………9分
随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
100
200
300
400
P
（Ⅲ）销售利润总和的平均值为………………………………………………………11分
Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240.
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.……………………14分
注：只求出Eξ，没有说明平均值为240元，扣1分.
（19）（本小题共14分）
解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，则直线PA，PB的斜率分别是
，
.
由条件得?=
.………………………………………………3分
即
+y2 =1（x≠0）.
所以动点P的轨迹C的方程为+y2 =1(x≠0).………………………5分
注：无x≠0扣1分.
(Ⅱ)设点M，N的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当直线l垂直于x轴时，x1= x2= -1，y1=-y2，
=.
所以
=（x1-2，y1）=(-3，y1)，
=（x2-2，y2）=（-3，-y1）.
所以
?
=9-=
.…………………………………………………7分
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x+1)，
由
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=
，x1x2=
.………………………………………9分
所以?=（x1-2）(x2-2)+y1y2= x1x2-2(x1+x2) +4+y1y2.
因为y1=k (x1+1)，y2=（x2+1），
所以?=(k2 +1)x1x2+（k2-2）(x1+x2)+k2+4=
-
＜.
综上所述?的最大值是.……………………………………11分
因为S≤
tanMQN恒成立，
即||?||sinMQN≤
恒成立.
由于?=
＞0.
所以cosMQN＞0.
所以?≤2恒成立.……………………………………………13分
所以的最小值为
.……………………………………………………14分
注：没有判断∠MQN为锐角，扣1分.
（20）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）{an}不是无界正数列，理由如下：………………………………………1分
取M=5，显然an=3+2sin(n)
≤5，不存在正整数n0满足
＞5；………………2分
{bn}是无界正数列.理由如下：………………………………………………………3分
对任意的正数M，取n0为大于2M的一个偶数，有
＞
＞M，所以
{bn}是无界正数列.…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）存在满足题意的正整数k.理由如下：
当n≥3时，
因为
=
≥
＞，
即取k=3，对于一切n≥k，有
＜n成立.………………9分
注:k取大于或等于3的整数即可.
（Ⅲ）证明：因为数列{an}是单调递增的正数列，
所以
＞
即
＜n-1+
.
因为{an}是无界正数列，取M =2a1，由定义知存在正整数n1，使
＞2a1，
所以
＜n1
.
由定义可知{an}是无穷数列，考察数列
，
，
，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数n2，使得
＜（n2-n1）.
重复上述操作，直到确定相应的正整数n4018.
则
＜
=
-2009.
即存在正整数m=
，使得
＜m-2009成立.
…………………………………………………………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.
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