四川省成都市重点名校联盟2009年高考数学冲刺预测试卷 (三)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题：
（1）（理）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B. 
C. 
D. 
（文）函数
的定义域为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（2）已知函数
的反函数为
，函数
的反函数为
，则函数与
的图象关系是（ ）
A、将函数的图象向右平移1个单位可得到函数的图象
B、将函数的图象向左平移1个单位可得到函数的图象
C、将函数的图象向上平移1个单位可得到函数的图象
D、将函数的图象向下平移1个单位可得到函数的图象
（3）（理）已知
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
（文）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）5 （D）13
（4）给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．
②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线
与同一平面所成的角相等,则互相平行．
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（ ） A、1 B、
（5）设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）
A．2 B．
（6）（理）已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）一袋中装有大小相同，编号分别为
的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（7）顶点在同一球面上的正四棱柱
中，
，则
、
两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
（8）
的三内角A、B、C的对边的长分别为
、
、
，设向量
若
则角的大小为（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
（9）在正方体
中，
、
分别为棱
、
的中点，则在空间中与三条直线
、
、
都相交的直线（
）
A、不存在 B、有且只有两条 C、有且只有三条 D、有无数条
（10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近
一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星
在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星
在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用
和
分别表
示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，
给出下列式子：
①
②
③
④
其中正确式子的序号是（ ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
（11）已知对任意实数
，有
，且
时，
，则
时（ ）
A． B．
C．
D．
（12）（理）已知直线
（
是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
（文）设椭圆
的离心率为
，右焦点为
，方程
的
两个实根分别为
和
，则点
（ ）
Ａ．必在圆
上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若对于任意实数，有
，则
的值为
________________________．
（14）已知
，且在区间
有最小值，无最大值，
则
_____________.
（15）
在等比数列
中，若
则
=__________________.
（16）定义在
上的函数
，若对任意不等实数
满足
，且对于任意的
，不等式
成立.又函数
的图象关于点
对称，则当 
时，
的取值范围为__________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知函数
⑴ 求f（x）的最小正周期；
⑵ 求f（x）的单调递减区间；
⑶ 函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？
（18）（本小题满分12分）（文）平面上有两个质点、
分别位于
、
，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的任何一个方向移动1个单位.已知质点向左、右移动的概率都是
，向上、下移动的概率分别是
和
，质点向四个方向移动的概率都是
.
（1）求和的值；
（2）试判断最少需要几秒钟，、能同时到达点
？并求在最短时间内同时到达的概率.
（理）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
、
、
；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是
，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为
，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量
、
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
（Ⅰ）求
、
的概率分布和数学期望
、
；
（Ⅱ）当
时，求的取值范围．
（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱
中，
，
是
的中点，
是侧棱
上的一个动点.
（1）当是的中点时，证明：
平面
；
（2）在棱上是否存在点满足
，使二面角
是直二面角？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
（20）设数列
前
项和为
，且
.其中
为实常数，
且
.
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列的公比满足
且
，求
的通项公式；
（3）若
时，设
，是否存在最大的正整数
，使得对任意
均有
成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
（21）（本小题满分12分）
（文）设函数
，已知
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设
，试比较与的大小.
（理）已知函数
（
为自然对数的底数），
（为常数），是实数集上的奇函数.
（1）求证：
；
（2）讨论关于的方程：
的根的个数；
（提示：
）
（3）设，证明：
（为自然对数的底数）.
（22）（本小题满分14分）
（文）设动点
到点
和
的距离分别为
和
，
，且存在常数
，使得
．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点
的直线与双曲线的右支交于
两点．问：是否存在，使
是以点为直角
顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不
存在，说明理由．
（理）我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
分别是“果圆”与
，
轴的交点．
（1）若
是边长为1的等边三角形，
求“果圆”的方程；
（2）当
时，求
的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
四川省成都市重点名校联盟2009年高考数学冲刺预测试卷 (三)
一、选择题
1、B（A） 2、C 3、A(C) 4、D 5、D 6、C（D）
7、B 8、B 9、C 10、B 11、B 12、A（C）
二、填空题
13、6
14、
15、31
16、
三、解答题
17、解：⑴由
由
∴函数
的最小正周期T=
…………………6分
⑵由
∴f（x）的单调递减区间是
．
⑶
，∴奇函数
的图象左移
即得到的图象，
故函数的图象右移后对应的函数成为奇函数．…………………12分
18、（文）解：（1）
，又
. ∴
，
.
（2）至少需要3秒钟可同时到达
点.
到达点的概率
. 
到达点的概率
.
故所求的概率
.
（理）解：（Ⅰ）
的概率分布为
1．2
1．18
1．17
．
由题设得
，即
的概率分布为
0
1
2
故
的概率分布为
1．3
1．25
0．2
所以的数学期望
．
（Ⅱ）由
∵
，∴
．
19、解：（1）取
中点
，连结
，∵是
的中点，
是
的中点.
∴
所以
，所以
………………………… 2分
又
平面
，所以
平面………………………………………… 4分
（2）分别在两底面内作
于
，
于
，连结
，易得
，以为原点，
为
轴，
为
轴，为
轴建立直角坐标系，
设
，则
……………………………………………………… 5分
.
易求平面
的法向量为
…………………………………………… 7分
设平面
的法向量为
，由
…………… 9分
取
得
∴
…………… 11分
由题知
∴
所以在上存在点，当
时
是直二面角.…………… 12分
20、解：（1）由
，得
，两式相减，得
，∴
，∵
是常数，且
，
，故
为不为0的常数，∴
是等比数列.
（2）由
，且
时，
，得
，∴
是以1为首项，
为公差的等差数列，
∴
，故
.
（3）由已知
，∴
相减得：
，∴
，
，
递增，∴
，
对
均成立，∴
∴，又
，∴
最大值为7.
21、（文）解：(Ⅰ)因为
又 
因此
解方程组得 
(Ⅱ)因为 
所以 
令 
因为
所以
在（-2，0）和（1，+
）上是单调递增的；
在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
（理）（1）证：令
,令
时
时,
. ∴
∴
即
.
（2）∵
是R上的奇函数 ∴
∴
∴
∴
故
.
故讨论方程
在
的根的个数.
即
在的根的个数.
令
.注意,方程根的个数即交点个数.
对
, 
,
令
, 得
，
当
时,
; 当
时,
. ∴
，
当
时,
； 当
时,
， 但此时
，此时以轴为渐近线。
①当
即
时,方程无根;
②当
即
时,方程只有一个根.
③当
即
时,方程有两个根.
（3）由(1)知
, 令
,
∴
,于是
,
∴
.
22、（文）22．解：（1）在
中，
．
． 
（小于
的常数）
故动点的轨迹
是以
，
为焦点，实轴长
的双曲线．方程为
．
（2）方法一：在
中，设
，
，
，
．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得：
，
则
由⑤得：
，
，
故存在
满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得：
所以
，
．
则
．①
由
，可设
，
则
，
．
则
．②
由①②得
．③
根据双曲线定义
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在满足题设条件．
（理）解：（1）
，
，
于是
，所求“果圆”方程为
，
．
（2）由题意，得 
，即
．
，
，得
．
又
． 
．
（3）设“果圆”的方程为
，
．
记平行弦的斜率为．
当
时，直线
与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是
．
的中点
满足 
得 
．
， 
．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当
时，以为斜率过
的直线
与半椭圆的交点是
．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上． 当
时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
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