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    题目列表(包括答案和解析)

    （提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
    （A） 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及
    AP
    =
    AB
    +t
    AC
    ，试问：
    （1）t为何值时，P在第三象限？
    （2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
    （B） 已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E，
    AN
    =
    1
    2
    ND
    ，连接BN交AC于M，
    （1）若
    AM
    =λ
    AE
    ，求实数λ．
    （2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．

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    （提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
    （1）设ai∈R+，bi∈R+，i=1，2，…n，且a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2，求证：
    a
    2
    1
    a1+b1
    +
    a
    2
    2
    a2+b2
    +…+
    a
    2
    n
    an+bn
    ≥1
    （2）设ai∈R+（i=1，2，…n），求证：
    (a1+a2+…an)2
    2(
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +…
    a
    2
    n
    )
    ≤
    a1
    a2+a3
    +
    a2
    a3+a4
    +…+
    an
    a1+a2
    ．

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    （提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
    （A） 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及数学公式，试问：
    （1）t为何值时，P在第三象限？
    （2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
    （B） 已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E，数学公式，连接BN交AC于M，
    （1）若数学公式，求实数λ．
    （2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．

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    （提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
    （1）设ai∈R+，bi∈R+，i=1，2，…n，且a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2，求证：
    （2）设ai∈R+（i=1，2，…n），求证：．

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    设函数（提示 ：）

    （1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

    （2） 若，证明对任意的正整数n，不等式都成立.

     

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    一、选择题

    1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

    7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

    二、填空题

    13、6          14、           15、31           16、

    三、解答题

    17、解：⑴由

           由 

            

           ∴函数的最小正周期T= …………………6分

           ⑵由

           ∴f（x）的单调递减区间是．

           ⑶，∴奇函数的图象左移 即得到的图象，

    故函数的图象右移后对应的函数成为奇函数．…………………12分

    18、（文）解：（1），又. ∴，.

    （2）至少需要3秒钟可同时到达点.

    到达点的概率. 到达点的概率.

         故所求的概率.

    （理）解：（Ⅰ）的概率分布为

    1．2

    1．18

    1．17

    ．

    由题设得，即的概率分布为

    0

    1

    2

    故的概率分布为

    1．3

    1．25

    0．2

    所以的数学期望．

    （Ⅱ）由

    ∵，∴．

     

    19、解：（1）取中点，连结，∵是的中点，是的中点.

    ∴  所以，所以………………………… 2分

    又平面，所以平面………………………………………… 4分

    （2）分别在两底面内作于，于，连结，易得，以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，

    设，则……………………………………………………… 5分

      .

    易求平面的法向量为…………………………………………… 7分

    设平面的法向量为

    ，由…………… 9分

    取得  ∴…………… 11分

    由题知 ∴

    所以在上存在点，当时是直二面角.…………… 12分

    20、解：（1）由，得，两式相减，得，∴，∵是常数，且，，故

    为不为0的常数，∴是等比数列.

    （2）由，且时，，得

    ，∴是以1为首项，为公差的等差数列，

    ∴，故.

    （3）由已知，∴

    相减得：，∴，

    ，递增，∴，对均成立，∴∴，又，∴最大值为7.

    21、（文）解：(Ⅰ)因为

                          

                 又  

                 因此    

                 解方程组得 

             (Ⅱ)因为     

                 所以     

                 令      

                 因为    

                         

                 所以     在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；

                               在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.

             (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

                

     

    （理）（1）证：令,令时

                时,.  ∴

                 ∴ 即.

      （2）∵是R上的奇函数  ∴  ∴

           ∴  ∴  故.

           故讨论方程在的根的个数.

           即在的根的个数.

           令.注意,方程根的个数即交点个数.

            对, ,

            令, 得，

             当时,; 当时,.  ∴，

             当时,；   当时,， 但此时

    ，此时以轴为渐近线。

           ①当即时,方程无根;

    ②当即时,方程只有一个根.

    ③当即时,方程有两个根.

     （3）由(1)知,   令,

          ∴,于是,

          ∴

             .

    22、（文）22．解：（1）在中，．

    ．  （小于的常数）

    故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．方程为．

    （2）方法一：在中，设，，，．

    假设为等腰直角三角形，则

    由②与③得：，

    则

    由⑤得：，

    ，

    故存在满足题设条件．

    方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得：

    所以，．

    则．①

    由，可设，

    则，．

    则．②

    由①②得．③

    根据双曲线定义可得，．

    平方得：．④

    由③④消去可解得，

    故存在满足题设条件．

     

     

     

     

    （理）解：（1） ，

    ，

        于是，所求“果圆”方程为

        ，．                    

    （2）由题意，得  ，即．

             ，，得．  

         又．  ．                                             

    （3）设“果圆”的方程为，．

        记平行弦的斜率为．

    当时，直线与半椭圆的交点是

    ，与半椭圆的交点是．

     的中点满足  得 ．  

         ， ．

        综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 

        当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．  

    由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．   当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

     


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