天水市一中2008-2009学年度第二学期2006级
理科数学试题
本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页，试卷满分300分．
做题时间为150分钟。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S= 4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)=P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设
，且
为正实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 函数y＝8sin4xcos4x的最小正周期是（ ）
A.2π B.4π C. D.
3．若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 ( )
A.
B. 
C. 
D. 
4．函数
的图像可以通过以下哪种变换得到函数
的图像（ ）
A．向右平移
个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移
个单位 D．向左平移个单位
5．已知集合
、
则集合
所表示的平面图形的面积
（ ）
A．
B． C． D．
6. 已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B（2，0）。若
（O为坐标原点），则动点A的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
8．半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则三个三角形面积之和
的最大值为（ ）
A．4 B．
9．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A.14 B
10．已知函数
，等比数列
的首项
，公比
，若，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
是椭圆上一点，
为左准线，
，垂足为
，若四边形
为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
) C．
) D．
12．函数
的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有
≤
，
则称函数在D上为非减函数．设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①
； ②
③
则
等于 （ ）
A．
B．
C．1 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共２0分．把答案填在题中横线上）
13．若
，
，
，…，
的方差为3，则
，
，…，
，
的方差为
．
14．若
则在展开式各项系数中最大值等于
。
15．已知等差数列
的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝
，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是_______．
16．给出下列命题：
①函数
不是周期函数；
②函数
在定义域内为增函数；
③函数
的最小正周期为；
④函数
的一个对称中心为
其中正确命题的序号为___________。
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的解题过程）
17．（本小题共10分）
设函数
（I）求函数
的周期；
（II）设函数的定义域为
，若
，求函数的值域。
18．（本小题共12分）
3名志愿者在5月1号至5月5号期间参加社区服务工作.
（I）若每名志愿者在5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志原者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；
（II）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在5月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列.
19．（本小题共12分）
如图，四棱锥P―ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4.
（I）求证：BC⊥PC；
（II）求PB与平面PAC所成角的正弦值；
（III）求点A到平面PBC的距离
20．（本小题共12分）
已知是各项都为正数的数列，
为其前
项的和，且
（I）分别求
，
的值；
（II）求数列的通项
；
（III）求证：
21．（本小题共12分）
已知
设的反函数为
．
（I）求
的单调区间；
（II）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
22．（本小题共12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
（I）求椭圆的方程；
（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆于点P，证明：
为定值；
（III）在（II）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．27 14．20 15．2 16．①④
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题共10分）
解：（I）
故函数
的周期为
………………………………………….5分
（II）
又
函数
的值域为
………………….10分
18．（本小题共12分）
解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等. ………………1分
设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，
则该事件共包括
种不同的结果， ………………3分
所以
………………5分
答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为
………………6分
（II）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3 ………………7分
随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
……………………12分
解法2：每名志愿者在5月1日参加社区服务的概率均为
……7分
则三名志愿者在5月1日参加社区服务的人数
………………11分
随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
………………12分
19．（本小题共12分）
方法1
（I）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且
………………1分
取AB的中点E，连结CE.
由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，
又
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC， 又因为PA⊥平面ABCD，则AC为PC在平面ABCD内的射影，BC
平面ABCD，
由三垂线定理得，BC⊥PC ……………………4分
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.
所以BC⊥平面PAC， ……………………4分
PC是PB在平面APC内的射影，所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角. ……5分
又
， ………………6分
………………7分
………………8分
（III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，
则AF的长即为点A到平面PBC的距离. ………………9分
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=
， ………………10分
………………11分
所以
………………12分
方法2：
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
∵PA=AD=DC=2，AB=4.
………………2分
（I）
………………3分
………………4分
（II）
设
………………6分
即PB与平面PAC所成角的正弦值为
………………8分
（III）由
设
………………10分
=
∴点A到平面PBC的距离为
………………12分
20．（本小题共12分）
解：（I）令
，得
（舍去负的），
同理，令
可得
................................................4分
（II）
…………………8分
（Ⅲ）令
………………..12分
21．（本小题共12分）
解：（I）由
当
时，
当
时，
，
的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，
）….6分
（II）设
则
当
时，
在
上是减函数；
当
时，
在
上是增函数。
………………………………………………………..12分
22．（本小题共12分）
解：（I）如图，由题意得，
∴所求的椭圆方程为
………………3分
（II）由（I）知，
………………4分
（III）设
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
则
恒成立. ………………10分
由（II）可知
………………10分
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点. …………12分
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