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椭圆C的中心为原点O,短轴端点分别为B1、B2,右焦点为,若 为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程;
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(2)过椭圆C内一点作直线l交椭圆C于M、N两点,求线段MN的中点P的轨迹方程;
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(3)在(2)的条件下,求面积的最大值.
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(1)求的解析式;
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(2)试求实数k的最大值,使得对任意恒成立;
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(3)若,
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求证:
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一、 DACCA BDB 二、 9.16 10.2009 11.
12.
13. 14.3 15.②③ 三、 16.解:(1)由余弦定理得:
是以角C为直角的直角三角形.……………………6分 (2)中 ………………① ………………② ②÷①得, 则……………………12分 17.解:(1)因为……………………………………(2分) ……………………………………………………(4分) 所以线路信息通畅的概率为。………………………(6分) (2)的所有可能取值为4,5,6,7,8。 ……………………………………………………………(9分) ∴的分布列为
4 5 6 7 8 P
…………………………………………………………………………………………(10分) ∴E=4×+5×+6×+7×+8×=6。……………………(12分) 18.解:解法一:(1)证明:连结OC, ∵ABD为等边三角形,O为BD的中点,∴AO 垂直BD。………………………………………………………………(1分) ∴ AO=CO=。………………………………………………………………………(2分) 在AOC中,AC=,∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=900,即AO⊥OC。 ∴BDOC=O,∴AO⊥平面BCD。…………………………………………………(3分) (2)过O作OE垂直BC于E,连结AE, ∵AO⊥平面BCD,∴AE在平面BCD上的射影为OE。 ∴AE⊥BC。 ∠AEO为二面角A―BC―D的平面角。………………………………………(7分) 在RtAEO中,AO=,OE=, ∠, ∴∠AEO=arctan2。 二面角A―BC―D的大小为arctan2。 (3)设点O到面ACD的距离为∵VO-ACD=VA-OCD, ∴。 在ACD中,AD=CD=2,AC=, 。
∴。 ∴点O到平面ACD的距离为。…………………(12分) 解法二:(1)同解法一。 (2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0) ∵AO⊥平面DCD, ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…………………………………………(5分)
, 由。设与夹角为, 则。 ∴二面角A―BC―D的大小为arccos。…………………………………………(8分) (3)解:设平面ACD的法向量为又 。………………………………(11分) 设与夹角为,则 设O到平面ACD的距离为, ∵, ∴O到平面ACD的距离为。……………………………………………………(12分)19.解:(1). …共线,该直线过点P1(a,a), 斜率为……………………3分 当时,An是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示),梯形面积是
于是 故…………………………7分 (2)结合图象,当 ,……………………10分 而当 , 故当1<a>2时,存在正整数n,使得……………………13分 20.解:(1) 设椭圆C的标准方程为,
又为正三角形, a=2b,结合 ∴所求为……………………2分 (2)设P(x,y)M(),N(), 直线l的方程为得,
……………………4分 ………………6分 又且满足上述方程, ………………7分 (3)由(2)得, ∴
…………………………9分 又
……………………10分 设
面积的最大值为…………………………13分 21.解:(1)由 即可求得……………………3分 (2)当>>>0, 不等式≥≥≥…(5分) 令 由于 ……………………7分 当 当 当 又, 故 于是由;………………9分 (3)由(2)知, 在上式中分别令x=再三式作和即得
所以有……………………13分
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