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    湖南省郴州市2009年高三第三次教学质量监测

    数学试题（文）

     

    一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

    1．已知集合则下列结论正确的是   （    ）

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           A．                              B．

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           C．                          D．

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    2．已知等于                                            （    ）

           A．0                       B．－1                   C．2                       D．1

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    3．“x>1”是“”成立的                                                                             （    ）

           A．充要条件                                           B．必要不充分条件

           C．充分不必要条件                                D．既不充分又不必要条件

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    4． 的最大值 和最小正周期分别是               （    ）

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           A．              B．2，2π               C．，2π          D．1，2π

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    5．已知实数，满足约束条件则的取值范围是                （    ）

           A．[1，2]               B．[0，2]                C．[1，3]               D．[0，1]

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    6．设恒成立，那么                                       （    ）

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           A．                 B．a>1                   C．          D．a<1

     

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    7．若的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x4的系数为      （    ）

           A．6                       B．7                        C．8                       D．9

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    C（0，1），映射f 将xOy 平面上的点P（x，y）对应到另一

    个平面直角坐标系uo′v 上的点P′（2xy，x2 ? y2），则当点

    P 沿着折线A―B―C 运动时，在映射f 的作用下，动点P′的

    轨迹是                                         （    ）

     

     

     

     

     

     

     

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    二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，请把答案填在题中横线上）

    9．函数的反函数是              .

    20090401

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    11．从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的

    放法总数为____________. （用数字作答）

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    12．设是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：

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    ①若；   

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    ②若；

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    ③若l上有两点到的距离相等，则l//；

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    ④若.

    其中正确命题的序号是____________.

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    13．已知函数是R 上的偶函数，且在（0，+）上有（x）> 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________.

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    14．设向量若直线沿向量平移，所得直线过双曲线的右焦点，

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    （i）=            

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    （ii）双曲线的离 心率e=             .

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    15．对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为，

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    （i）=            

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    （ii）数列的前n项和Sn=            

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    三、解答题（本大题共6 个小题，共75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ）

    16．（本小题满分12 分）

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    已知函数的最大值为1.

       （1）求常数a 的值；

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       （2）求的单调递增区间；

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       （3）求≥ 0 成立的x 的取值集合.

     

     

     

     

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    17．（本小题满分12 分）

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    从甲地到乙地一天共有A、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0.7，B 班车正点到达乙地的概率为0.75。

       （1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到

    达的概率（答案用数字表示）。

       （2）有两位游客分别乘坐A、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概

    率（答案用数字表示）。

     

     

     

     

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    18．（本小题满分12 分）

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    已知{ }是整数组成的数列，a1 = 1，且点在函数的图象上，

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       （1）求数列{}的通项公式；

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       （2）若数列{}满足 = 1，，求证：

     

     

     

     

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    19．（本小题满分13 分）

    如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

       （1）求证：MN//平面PBD；

       （2）求证：AQ⊥平面PBD；

       （3）求二面角P―DB―M 的大小．

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    20090401

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    已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 = 4x 的焦点重合，短轴长为2. 椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴.

       （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；

       （2）求证：线段EF被直线AC 平分.

     

     

     

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    21．(本题满分13 分)

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    已知函数

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       （1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；

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       （2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；

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       （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的

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    图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说

    明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题（每小题5 分，共40 分）

    DACDA  DBA

    二、填空题（每小题5 分，共35分）

    9．     10．400     11．180    12．②④

    13．     14．（i）（3分）    （ii）（2分）

    15．（i）（3分）；    （ii） （2分）

    16．（1）

    当

     ……………………4分

    （2）令 ………………6分

    解得：

    所以，的单调递增区间是…………8分

    （3）由，……………………10分

    所以，

    解得：

    所以，的取值集合……12分

    17．解：（1）坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为

    P3（2）= C0.72×0.31 = 0.441 ……………………（6 分）

    （2）记“A 班车正点到达”为事件M，“B 班车正点到达冶为事件N

    则两人中至少有一人正点到达的概率为

    P = P（M?N）+ P（M?）+ P（?N）

    = 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 （12 分）

    18．解：由已知得

    所以数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；（2分）

    即=1+…………………………4分

    （2）由（1）知 ……………………6分

     …………………………8分

     ……………………10分

    所以：…………………………12分

    19．解：M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）

    （1）∵ND//MB且ND=MB

    ∴四边形NDBM为平行四边形

    ∴MN//DB………………3分

    ∴BD平面PBD，MN

    ∴MN//平面PBD……………………4分

    （2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

    ∴BD⊥QC……………………5分

    又∵BD⊥AC，

    ∴BD⊥平面AQC…………………………6分

    ∵AQ面AQC

    ∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

    ∵BDPD=B

    ∴AQ⊥面PDB……………………………8分

    ∵在正方体中，PB=PB

    ∴PE⊥DB……………………10分

    ∵四边形NDBM为矩形

    ∴EF⊥DB

    ∴∠PEF为二面角P―DB―M为平面角………………11分

    ∵EF⊥平面PMN

    ∴EF⊥PF

    设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

    ∵

    ∴

    …………………………13分

    解法2：设正方体的棱长为a，

    以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

    则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

    ∴………………10分

    ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

    ∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量

    ……………………12分

    ∴

    ∴………………13分

    20．解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为……1分

    的焦点为F（1，0）

    ……………………3分

    所以，椭圆的标准方程为

    其离心率为 ……………………5分

    （2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，

    ∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则

    若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）

    ∴AC的中点为

    ∴线段EF的中点与AC的中点重合，

    ∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分

    若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

    则…………………………7分

    把

    得 ………………8分

    则有………………9分

    ∴

    ……………………10分

    ∵

    ∴

    ∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，

    ∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分

    21．解：（1）依题意，

    …………………………3分

    （2）若在区间（―2，3）内有两个不同的极值点，则方程在区间（―2，3）内有两个不同的实根，

    但a=0时，无极值点，

    ∴a的取值范围为……………………8分

    （3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，

    即方程恰有三个不同的实根。

    =0是一个根，

    *        应使方程有两个非零的不等实根，

    由………………12分

    *存在的图象恰有三个交点…………………………13分

     


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