和平区2009届高三第一次质量调查
数学（理）学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再造涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)复数
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)设集合
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)在等比数列
中，
，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)过点（
)作直线
与圆
交于A、B两点，如果
,则直线的方程为
(A)
(B)
(C)或
(D)或
(6)如图，在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是
(A)BC∥平面PDF (B)DF⊥平面PAE
(C)平面PDF⊥平面PAE (D)平面PDE⊥平面ABC
(7)已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象
(A)关于直线
对称 (B)关于点(
)对称
(C)关于直线
对称 (D)关于点(
)对称
(8)
的值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)如图，F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
，则
等于
(A)6 (B)4
(C)3 (D)2
(10)已知
，且
，下列不等式成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3．本卷共12小题，共100分。
题号
二
三
总分
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
得分
得分
评卷人
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
(11)某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取―个容量为
的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则等于
?
(12)在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出
的结果是 ___
(13)在
的展开式中，
的系数是
（用数字作答）．
(14)已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6,则
的值为
?
(15)有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有 种（用数字作答）．
(16)如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D．若
，AB=BC=3，则BD的长为
；AC的长为
．
得分
评卷人
(17)(本小题满分12分)
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
在△ABC中，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）设
，求
．
得分
评卷人
(18)(本小题满分12分)
在4名男生和3名女生中挑选3人参加志愿者服务活动，
(Ⅰ)求至多选中1名女生的概率；
(Ⅱ)记女生被选中的人数为随机变量
，求的分布列和数学期望．
得分
评卷人
(19)(本小题满分12分)
如图，正四棱锥P
ABCD的底面边长与侧棱长都是2，点O为底面ABCD的中心，M为PC的中点．
(Ⅰ)求异面直线BM和AD所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角MPBD的余弦值．
得分
评卷人
(20)(本小题满分12分)
已知等差数列的前三项为
记前项和为
．
(Ⅰ)设
，求
和
的值；
(Ⅱ)设
，求
的值．
得分
评卷人
(21)(本小题满分14分)
设A、B分别为椭圆
的左、右顶点，(
)为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设
，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明在以MN为直径的圆内．
得分
评卷人
(22)(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求
的值域；
(Ⅱ)设
，函数
．若对任意
，总存在
，使
，求实数的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空题(每小题4分，共24分)
l 1．192 12．286 13．
14．
15．
三、解答题(本大题共6小题，共76分)
17．(本题12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
．
……………(8分)
由已知条件
根据正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．(本题12分)
解：(Ⅰ)在7人中选出3人，总的结果数是
种
………………(2分)
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：
①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是
种，
②被选中的是3名男生的结果数是
种，
………………(4分)
至多选中1名女生的概率为
． ……………(6分)
(Ⅱ)由题意知随机变量
可能的取值为：0，1，2，3，则有
……………………（8分）
的分布列
0
1
2
3
P
……………（10分）
的数学期望
…
……(12分)
19.(本题12分)
解：(Ⅰ)连接
，以
所在的直线为
轴，
轴，
轴
建立如图所示的空间直角坐标系． …………………………………（2分)
正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2，
．
．
为
的中点．
…………（4分）
．
即异面直线
和
所成的角为
………(6分)
(Ⅱ)
．
是平面
的一个法向量． ……………………………（8分）
由（Ⅰ）得
．
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得
．
，不妨设
，
得平面的一个法向量为
．
………………（10分）
．
二面角
小于
，
二面角的余弦值为
．
………………（12分）
20.(本题12分)
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差数列．
则
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本题14分)
解：(Ⅰ)依题意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
椭圆的方程为
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，设
，如图所示
点在椭圆上，
． ①
点异于顶点
、
，
．
由
、、三点共线，可得
从而
…………………………（7分）
② …………（8分）
将①式代入②式化简得
…………（10分）
…………（12分）
于是
为锐角，
为钝角．
点B在以MN为直径的圆内． ……………(14分)
22.（本题14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
当
时，
在
上单调递
当
时，
在
上单调递减，
而
，
当
时，
的值域是
． ……………（4分）
(Ⅱ)设函数
在
上的值域是A，
若对任意
．总存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①当
时，
，
函数在
上单调递减．
，
当时，不满足
； ……………………(8分)
②当
时，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
时，
的变化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)当
时，
函数在上单调递减．
，
当时，不满足．
…………………(13分)
综上可知，实数
的取值范围是
． ……………………（14分）
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