2009年高考数学难点突破专题辅导十四

难点14  数列综合应用问题

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

●难点磁场

(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式；

(2)若任意实数x都满足等式f(x)?g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹［g(x)］为多项式，n∈N^*),试用t表示a_n和b_n；

(3)设圆C_n的方程为(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，圆C_n与C_n+1外切(n=1,2,3,…);{r_n}是各项都是正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n、S_n.

●案例探究

［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n,b_n的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问a_n、b_n实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)^n－1万元，所以，n年内的总投入为

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1

=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)^n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1.

=1600×［()ⁿ－1］

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b_n－a_n＞0，即：

1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，令x=()ⁿ，代入上式得：5x²－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

［例2］已知S_n=1++…+,(n∈N^*)设f(n)=S_2n+1－S_n+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立.

命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.

错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.

技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］².

解：∵S_n=1++…+.(n∈N^*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是关于n的增函数

∴f(n) _min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然数n，不等式

f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立

只要＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²成立即可

由得m＞1且m≠2

此时设［log_m(m－1)］²=t  则t＞0

于是解得0＜t＜1

 由此得0＜［log_m(m－1)］²＜1

 解得m＞且m≠2.

●锦囊妙计

1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.

2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：

(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.

(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.

(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.

●歼灭难点训练

一、选择题

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二、填空题

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三、解答题

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难点磁场

解：(1)设f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

(3)由于圆的方程为(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上，又圆C_n与圆C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

设{r_n}的公比为q，则

                                                                        ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

歼灭难点训练

一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x²－(2n+1)x+1

由｜x₁－x₂｜=，得d_n=，∴d₁+d₂+…+d_n

答案：A

二、2.解析：由1,x₁,x₂,4依次成等差数列得：2x₁=x₂+1,x₁+x₂=5解得x₁=2,x₂=3.又由1，y₁,y₂,8依次成等比数列，得y₁²=y₂,y₁y₂=8,解得y₁=2,y₂=4,

∴P₁(2,2),P₂(3,4).∴=(3,4)

∴

答案：1

3.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)²升，故第n次有纯酒精a(1－)ⁿ升.

答案：a(1－)ⁿ

4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a₅=95933(1+7.3%)⁴≈120000(亿元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由题意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;

(2)∵.b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而b_n=(1+r)q^n-1.

当q=1时，S_n=n(1+r),

,从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)时，C_n随n的增大而减小，故

1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                                                                  ①

当n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)时，C_n也随n的增大而减小，故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                                                                                       ②

综合①②两式知，对任意的自然数n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,故{C_n}的最大项C₂₁=2.25，最小项C₂₀=－4.

6.解：(1)第1位职工的奖金a₁=，第2位职工的奖金a₂=(1－)b，第3位职工的奖金a₃=(1－)²b，…，第k位职工的奖金a_k= (1－)^k－1b;

(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.

(3)设f_k(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,

故.

7.解：设a_n表示第n年的废旧物资回收量，S_n表示前n年废旧物资回收总量，则数列{a_n}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.

(1)a₆=10(1+20%)⁵=10×1.2⁵=24.8832≈25(万吨)

(2)S₆==99.2992≈99.3(万吨)

∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)

(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，

∴从1996年到2001年共节约：

≈3 平方公里.

8.解：(1)当n≥3时，x_n=;

由此推测a_n=(－)^n-1a(n∈N)

证法一：因为a₁=a＞0,且

 (n≥2)

所以a_n=(－)^n-1a.

证法二：用数学归纳法证明：

(?)当n=1时，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；

(?)假设当n=k时，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.

那么当n=k+1时，

a_k+1=x_k+2－x_k+1=

据(?)(?)可知，对任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.

(3)当n≥3时，有x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁

=a_n－1+a_n－2+…+a₁,

由(2)知{a_n}是公比为－的等比数列，所以a.