山西省大同市2009届高三年级一模
数 学(理)
考试时间120分钟 分值:150分
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合
A. B. C. D.
3.设函数若,则关于
的方程解的个数为
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.已知等于
A.
B.
5.设函数满足,则等于
A. B.
6.已知数列的前项和,则此数列的奇数项的前n项和是
A. B.) C. D.
7.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足()?=0,则的最大值是
A.1
B.
8.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
9.三个实数成等比数列,若有成立,则b的取值范围是
A. B. C. D.
面上三点,,
为球心,则二面角的大小为
A. B.
C. D.
11.已知双曲线的焦点为,M为双曲线上一点,以为直径的圆与双曲线的一个焦点为M,且则双曲线的离心率
A. B. C.2 D.
12.若函数且,设则a,b的大小关系是
A. B. C. D.的大小关系不能确定
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.的展开式中的系数是_______________________。
14.若实数满足则的最大值等于_________________。
15.椭圆与直线交于两点,若过原点与线段AB中点的直线倾斜角为30°,则的值为_______________________。
16.已知与都是定义在R上的函数,。
,在有穷数列(n=1,2…10)中,任意取前项相加,则前项和大于的概率是_______________________。
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分10分)
在中,分别为角所对的三边,已知
(1)求角A;
(2)若内角B等于x,周长为y,求的最大值。
18.(本小题满分12分)
一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球,某人一次从中摸出2个球
(1)如果摸到的球中含有红球就中奖,那么此人中奖的概率是多少?
(2)如果摸到的2个球都是红球,那么就中大奖,在有放回的3次摸球中,此人恰好两次中大奖的概率是多少?
(3)在(2)条件下,级为三次摸球中中大奖的次数,求的数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图,斜三棱柱
中,侧面,
侧棱与底面ABC成60°的角
,2,低面ABC是边长为2
的正三角形,其重心为G点(重心
为三条中线的交点)。E是线段
上一点且。
(1)求证:侧面;
(2)求平面与底面ABC所成锐
二面角的大小。
20.(本小题满分12分)
已知函数。
(1)当a=1时,求的极小值;
(2)若直线对任意的都不是曲线的切线,求a的取值范围;
(3)设求的最大值的解析式。
21.(本小题满分12分)
已知,记点P的轨迹为E,直线过点且与轨迹E交于两点。
(1)无论直线绕点怎样转动,在x轴上总存在定点,使恒成立,求实数m的值。
(2)过做直线的垂线,垂足分别为A、B,记=,球的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知数列满足
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和;
(3)设,数列的前n项和为。
求证:对任意的
大同市2009届高三年级第一次模拟考试
数学(理科)答案及评分标准
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
B
A
B
A
A
C
C
C
C
D
D
A
二、填空题:
13. 14. 34 15. 16. (或0.6)
三、解答题:
17. 解:(1)由
又 ………………4分
(2)
同理:………………6分
………………8分
故……………………10分
18. 解:(1)记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A
则………………………………………………………………4分
(2)记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B
则………………………………………………………………6分
3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验
则 ………………………………8分
(3)中大奖的次数可能取的值为0,1,2,3
∴的数学期望为
………………12分
或E
19. 解法1:(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC1∽ΔFEB, BE=EC1
∴BF=B1C1=BC,从而F为BC的中点. ………………2分
∵G为ΔABC的重心,∴A、G、F三点共线,且==,
∴GE∥AB1,
又GE侧面AA1B1B,侧面AA1B1B, ∴GE∥侧面AA1B1B …………4分
(2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,∴B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成600的角, AA1= 2,
∴∠B1BH=600,BH=1,B1H=………………………………6分
在底面ABC内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连B1T.由三垂线定理有
B1T⊥AF,又平面B1GE与底面ABC的交线为AF,
∴∠B1TH为所求二面角的平面角………………………………………………8分
∴AH=AB+BH=3,∠HAT=300, ∴HT=AHsin300=,
在RtΔB1HT中,tan∠B1TH== ………………10分
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan………………12分
解法2:(1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成600的角,
∴∠A1AB=600,又AA1= AB= 2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图,…………………………1分
则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),
A1(0,0,)B1(0,2,),C1(,1,).
∵G为ΔABC的重心,∴G(,0,0), ∵=
∴E(,1,)∴=(0,1,)=,
∥即GE∥AB1…………………………………………………………3分
又GE侧面AA1B1B,侧面AA1B1B, ∴GE∥侧面AA1B1B ………… 4分
(2)设平面B1GE的法向量为=(a,b,c),
则由及得;.
可取………………………………………..…7分
又底面ABC的法向量为=(0,0,1),………………………………9分
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,
则cos==, ……………………………………………11分
∴=arccos.………………………………………………………………12分
20. (1)∵当a=1时,令=0,得x=-1或x=1…………2分
当x∈(-1,1)时,当时
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴的极小值为=-2. …………………………………………………4分
(2)∵………………………………………………………6分
∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线,
当且仅当-1<
∴.…………………………………………………………………………8分
(3)因在[-1,1]上为偶函数,故只求在[0,1]上最大值…9分
当时
错误!未找到引用源。 .当,即时,在上单调递增,
此时……………………………………………………………10分
错误!未找到引用源。. 当,且 即时,在上单调递增,在上单调递减,
故.…………………………………………………………11分
………………………………………………12分
21. 解:(1)由知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线的右支,由,故轨迹E的方程为
………………………………………………………………2分
(错误!未找到引用源。)当直线l的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消y得,
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