2009届高考数学第三轮复习精编模拟四
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设复数
满足关系式+││=2+
,那么等于( )
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A) -
+ ；(B) - ；(C) --； (D) +.
2
设函数
为 （ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，数小正周期为
D．非周期函数
3、设
则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A．
； B．
；
C．
； D．
4、如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）
（A）7 （B）－7 （C）21 （D）－21
5、若直线
与直线
的交点位于第一象限，则直线
的倾斜角的取值范围是 （ ）
(A)
, (B)
,
(C)
, (D)
6、 如果
，
，…，
为各项都大于零的等差数列，公差
，则
（A）
；（B）
；（C）+
+
；（D）=.
7、设三棱柱ABC―A1B
A．
B．
C．
D．
8、函数
的部分图象如图，则（ ）
A．
； B．
；
C．
； D．
9、若椭圆经过原点，且焦点F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为 （ ）
A、 B、
C、
D、
10、《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
800~900元
900~1200元
1200~1500元
1500~2800元
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、已知集合为
，它的所有的三个元素的子集的和是
，则
＝
。
12、若函数
上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________；
13、椭圆
的焦点为
，点P为其上的动点，当
为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________；
14、(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线
和
相交于点
，则
＝
；
15．(几何证明选讲选做题) 如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，
并且不过圆心O，已知∠BPA=
， PA=
，PC=1，
则圆O的半径等于 ．
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知：复数
,
,且
，其中
、
为△ABC的内角，
、
、
为角
、、所对的边．
（Ⅰ）求角的大小；
(Ⅱ) 若
，求△ABC的面积．
17．（本小题满分12分）
某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A可获奖金元，答对问题B可获奖金2元；先答哪个题由观众自由选择；只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题．设某幸运观众答对问题A、B的概率分别为
、．你觉得他应先回答哪个问题才能使获得奖金的期望较大？说明理由．
18．（本小题满分14分）
在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0。
（Ⅰ）求
的坐标；
（Ⅱ）求圆
关于直线OB对称的圆的方程。
１9．（本小题满分14分）
已知函数f（x）的定义域为R，对任意的
，且当
时，
.
(Ⅰ)求证:函数f（x）为奇函数；
(Ⅱ)求证：
(Ⅲ)求函数
在区间[-n,n](n
)上的最大值和最小值。
20．（本小题满分14分）
如图，已知三棱柱ABC－A1B
B沿棱柱侧面经过棱C C1到点A1的最短路线长为
,设这条最短路线与CC1的交
点为D．
（1）求三棱柱ABC－A1B
（2）在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（3）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1．
2. （本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若函数y=f(x)的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）设函数y=f(x) 
的图象上任意一点的切线斜率为k，试求
的充要条件；
（Ⅲ）若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证
。
一．选择题：DBBCB BCCCC
解析：1：因为
=(2 -││)+ 
,由选择支知││<2,所以的实部为正数,虚部为1,根据这个隐含条件,(A),(B),(C)均可筛去,所以选(D).
2：先将周期最小的选项（A）的周期T=
代入
检验，不成立则排除(A)；再检验（B）成立. 所以选(B).
3：∵
∴可取
代入四个选项验证，发现B错误，∴应选(B).
4：“
的展开式中各项系数之和为
由通项公式Tr+1=
=
，
令7－=－3，解得r=6，此时T7= ，故选C
5:作两直线的图象,从图中可以看出:
直线
的倾斜角的取值范围应选(B).
6：取特殊数列
=，排除(A)、(C)、(D). ∴选(B).
7：如图所示,
作
∴柱体体积
故选C.
8:由图象可知,x=1时
=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).
∴应选(C).
9：利用椭圆的定义可得
故离心率
故选C。
10：设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为：400
5%=20元，5005%+20010%=45元，可排除
、
、
.故选
.
二．填空题：11、2； 12、a>0且
；13、
；14、
；15、7；
解析：11：因为包含了
任意一个元素
的三元素集合共
个，所以在
中，每个元素都出现了次，所以
，所以
。
12：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。
13：设P(x，y)，则当
时，点P的轨迹为
，由此可得点P的横坐标
。
又当P在x轴上时，
，点P在y轴上时，
为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：；
14．解：在平面直角坐标系中，曲线
和
分别表示圆
和直线
，易知
＝
15．解： 
由圆的性质PA
=PC?PB，得，PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J记圆的半径为R,由于ED?DA=CD?DB
因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三．解答题：
16.解：（Ⅰ）∵
∴
----①,
----②
由①得
------③
在△ABC中,由正弦定理得
=
,设＝
则
,代入③得
∵ 
∴
∴
,∵
∴
……………………6分
(Ⅱ) ∵
,由余弦定理得
,--④
由②得
-⑤ 由④⑤得
，∴
=
. ……………………………12分
17.解：设该观众先答A题所获奖金为
元，先答B题所获奖金为
元，………………………1分
依题意可得可能取的值为：0, 
，3， 的可能取值为：0，2，3
………………………2分
∵
，
，
，
∴
，
………………………6分
∵
，
， 
∴
………………………10分
∵
∴
，即
∴该观众应先回答B题所获奖金的期望较大． ……………………………12分
18.解：（Ⅰ）设
,由
得
，解得
或
，若
则
与
矛盾，所以不合舍去。
即
。---------------------------------------------------------------------------6
（Ⅱ）圆
即
，其圆心为C（3，－1），半径
，
∴直线OB的方程为
，-----------------------------------------------------------------10
设圆心C（3，－1）关于直线的对称点的坐标为（a，b），则
解得：
，则所求的圆的方程为
。-----------------------------14
19.(Ⅰ)证明：∵对任意的
①
令
得
②…………1分
令
得
……………………2分
∴
由②得
∴函数
为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:（1）当n＝1时等式显然成立
（2）假设当n＝k（k
）时等式成立，即
，…………4分
则当n＝k＋1时有
，由①得
………………6分
∵ ∴
∴当n＝k＋1时，等式成立。
综（1）、（2）知对任意的
,
成立。………………8分
(Ⅲ)解:设
，因函数为奇函数，结合①得
＝
，……………………9分
∵
又∵当
时，
∴
，∴
∴函数在R上单调递减…………………………………………12分
∴
由（2）的结论得
，
∵
，∴＝－2n
∵函数为奇函数，∴
∴
，＝2n。……………………14分
20.解：(1)如图，将侧面BB
设棱柱的棱长为，则B,
∵CD∥AA1 ∴D为CC1的中点，……………………………2分
在Rt△A1AB2中，由勾股定理得
，
即
解得
，……………………4分
∵
∴
……………………………………6分
(2)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD，则
……………………………7分
∵
平面
，
平面 ∴
平面，
即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行 ……………………………9分
(3)连结AD,B1D ∵
≌
≌
∴
∴
……………………………11分
∵
∴
平面A1ABB1 ……………………………13分
又∵
平面A1BD ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1 ……………………………………14分
21.解：（Ⅰ）
…………………………………………1分
由
得
， ………………………………………………2分
又
得
……………………………………………………3分
（Ⅱ）k＝
，
对任意的
，即
对任意的恒成立……4分
等价于
对任意的恒成立。…………………………5分
令g(x)＝
，h(x)＝
，
则
， …………………………………………6分
，当且仅当
时“＝”成立，
…………7分
h(x)＝在（0，1）上为增函数，h(x)max＜2……………………………8分
……………………………………………………………………9分
（Ⅲ）设
则
＝
……10分
即
，对
恒成立…………………………11分
，对
恒成立
即
对恒成立…………………………13分
解得
……………………………………………………14分
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