2009届高考数学第三轮复习精编模拟五
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
第一部分 选择题(共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1、设为全集,是的三个非空子集,且,则下面论断正确的是 ( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A); (B);
(C);(D).
2、已知、是非零向量且满足(-2) ⊥,(-2) ⊥,则与的夹角是 ( )
(A). (B) (C). (D).
3、已知,则等于 ( )
A、 B、 C、 D、
4、已知,为常数,且,则函数必有一周期为: ( )
A、2 B、
5、交于A、B两点,且,则直线AB的方程为: ( )
A、 B、
C、 D、
6、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在2001年9月存入人民币1万元,存期一年,年利率为2.25%,到期时净得本金和利息共计10180元,则利息税的税率是: ( )
A、8% B、20% C、32% D、80%
7、不等式的解集是( )
A、 B、 C、{4,5,6} D、{4,4.5,5,5.5,6}
8、七人并排站成一行,如果甲、乙两人必需不相邻,那么不同的排法的种数是( )
(A) 1440 (B) 3600 (C) 4320 (D) 4800
9、若关于的方程只有一个实数根,则的取值范围为( )
A、=0 B、=0或>1
C、>1或<-1 D、=0或>1或<-1
10、一个四面体的所有棱长都为,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为( )
(A)3 (B)4 (C)3 (D)6
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题:本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.每小题5分,满分20分.
11、已知函数在区间上为增函数,则实数a的取值范围是 。
12、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”:运算符号紧跟在运算对象的后面,按照从左到右的顺序运算,如表达式,其运算为:,若计算机进行运算:,那么使此表达式有意义的的范围为 _____________ .
13、若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积是 (只需写出一个可能的值).
14、(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,点P到直线:的距离是 .
15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的割线 PBA 过圆心 O,弦 CD 交 PA 于点F,且△COF∽△PDF,PB = OA = 2,则PF = 。
三.解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知命题:方程有两个不等的负实根;:方程无实根.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知 .
(1) 求AB边的长度;
(2)证明:;
(3)若,求.
18.(本小题满分14分)
已知函数图像上一点处的切线方程为,其中为常数.
(Ⅰ)函数是否存在单调减区间?若存在,则求出单调减区间(用表示);
(Ⅱ)若不是函数的极值点,求证:函数的图像关于点对称.
19.(本小题满分14分)
SD垂直于底面ABCD,SB=.
(I)求证BCSC;
(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(III)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.
20.(本小题满分14分)
设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.
(1)求圆心的轨迹E的方程;
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系上,设不等式组()
所表示的平面区域为,记内的整点(即横坐标和纵坐标均
(Ⅰ)求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明;
(Ⅱ)设数列的前项和为,数列的前项和,
是否存在自然数m?使得对一切,恒成立。若存在,
求出m的值,若不存在,请说明理由。
一.选择题:CBDCC BDBDA
解析:1: 由文氏图可得结论(C).
2:由已知得:(-2)=0,(-2) =0;即得:==2,∴cos<,>=,∴选(B)
3:由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,故m为一确定的值,于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关,进而推知tan的值与m无关,又<θ<π,<<,∴tan>1,故选D。
4:由于,从而函数的一个背景为正切函数tanx,取,可得必有一周期为4。故选C。
5:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线AB的方程就是,它过定点(0,2),只有C项满足。故选C。
6:生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。
7:四个选项中只有答案D含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将x值取4.5代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是D,而无需繁琐地解不等式。
8:(用排除法)七人并排站成一行,总的排法有种,其中甲、乙两人相邻的排法有2×种.因此,甲、乙两人必需不相邻的排法种数有:-2×=3600,对照后应选B;
9:作直线的图象和半圆,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).
注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.
10:如图,将正四面体ABCD补形成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=.故S球=3.
二.填空题:11、; 12、; 13、或或;
14、+1; 15、3;
解析:11:,由复合函数的增减性可知,在上为增函数,∴,∴。
12:计算机进行运算:时,它表示的表达式是,当其有意义时,得,解得.
13: 本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三边”,就可否定{1,1,2},从而得出{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2}三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,,故应填.、 、 中的一个即可.
14.解:直线:化为一般方程:,点P化为点,则点到直线的距离为
15解:由△COF∽△PDF得,即=
==,即=,
解得,故=3
三.解答题:
16.解:当P为真时,有 ……4分
当Q为真时,有 ……5分
……6分
由题意:“P或Q”真,“P且Q”为假 等价于
(1)P真Q假: ……8分
(2)Q真P假: ……11分
综合(1)(2)的取值范围是 ……12分
17.解:(1)∵∴
∵ ∴, 即AB边的长度为 ……………………3分
(2) 由 得-------------①
即-------------②
由①②得, 由正弦定理得
∴ ∴-- ……………………8分
(3) ∵,由(2)中①得 由余弦定理得=
∴=- ……………………12分
18.解:(Ⅰ),, ……………1分
由题意,知,,
即 ……………………2分
…………………3分
① 当时,,函数在区间上单调增加,
不存在单调减区间; ……………………5分
② 当时,,有
+
-
+
当时,函数存在单调减区间,为 ……………7分
③ 当时, ,有
+
-
+
当时,函数存在单调减区间,为 …………9分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:若不是函数的极值点,则,
…………………10分
设点是函数的图像上任意一点,则,
点关于点的对称点为,
(或 )
点在函数的图像上.
由点的任意性知函数的图像关于点对称. …………………14分
19. [方法一]:(几何法)
(I)证法一:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴DC是SC在平面ABCD上的射影,
由三垂线定理得BC⊥SC. …………3分
证法二:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥BC,又DC∩SD=D, 图1
∴BC⊥平面SDC,∴BC⊥SC. …………3分
(II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,
∴可把四棱锥S―ABCD补形为长方体A1B1C1S―ABCD,
如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC//A1S, ∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°. ……………8分
解法二:如图3,过点S作直线在面ASD上,
∵底面ABCD为正方形,在面BSC上,
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角
为 45°。…8分
(III)解法一:如图3, ∵SD=AD=1,∠SDA=90°, ∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜边SA的中点, ∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面ASD,SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
在△ABS中,由中位线定理得 MP//SB,是异面直线DM与SB所成的角.
,
又
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,
即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
解析:如图所示,以D为坐标原点建立直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
M(,0,),
∵ SB=,DB=,SD=1,∴ S(0,0,1),……………2分
(I)证明:∵ ,
=0 ∴ ,即BCSC.……………5分
(II)设二面角的平面角为θ,由题意可知平面ASD的一个法向量为,设平面BSC的法向量为,由,
得,
∴ 面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………10分
(III)设异面直线DM与SB所成角为α,
∵ ,SB=(-1,-1,1),得
∴ 异面直线DM与SB所成角为90°.……………14分
20.解:(1)设圆心的坐标为,如图过圆心作轴于H,
则H为RG的中点,在中,…3分
∵ ∴
即 …………………6分
(2) 设,
直线AB的方程为()则-----①---②
∵点在直线上, ∴.
∴点M的坐标为. ………………10分
同理可得:, ,
∴点的坐标为. ………………11分
直线的斜率为,其方程为
,整理得,………………13分
显然,不论为何值,点均满足方程,
∴直线恒过定点.……………………14分
21.解:(Ⅰ)当n=1时,D1为Rt△OAB1的内部包括斜边,这时,
当n=2时,D2为Rt△OAB2的内部包括斜边,这时,
当n=3时,D3为Rt△OAB3的内部包括斜边,这时,……, ---3分
由此可猜想=3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1) 当n=1时,猜想显然成立。
(2) 假设当n=k时,猜想成立,即,() ----5分
如图,平面区域为Rt内部包括斜边、平面区域为
Rt△内部包括斜边,∵平面区域比平面区域多3
个整点, ------- 7分
即当n=k+1时,,这就是说当n=k+1时,
猜想也成立,
由(1)、(2)知=3n对一切都成立。 ---------------------8分
(Ⅱ)∵=3n, ∴数列是首项为3,公差为3的等差数列,
∴.
-------------------------10分
== -------------------------------11分
∵对一切,恒成立, ∴
∵在上为增函数 ∴ ---13分
,满足的自然数为0,
∴满足题设的自然数m存在,其值为0。 -------------------------14分
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