1．设0＜θ＜π，a∈R, ，则θ的值为（       ）

A．                       B．                    C．                      D．

2．若f(x)=lgx+1,则它的反函数的图象是（     ）

3． 函数的定义域为（       ）

   A．(－1, 2)                      B．(－1,0)∪(0, 2)    C．(－1,0)            D．(0, 2)    

4．设函数f(x)=tan (ωx+φ)，(ω＞0),条件P：“f(0)=0”；条件Q：“ f(x)为奇函数”，则P是Q的（         )

A.充要条件                                      B.充分不必要条件               

C.必要不充分条件                               D.既不充分也不必要条件

5． 非零向量=(sinθ,2), =(cosθ,1), 若与共线，则tan(θ－)=

A．3         B －3          C．         D．－

6．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，则直线之间的夹角为（     ）

 A．                 B.                      C.               D.

7．下列命题中正确命题的个数是(      )

①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;

②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直;

③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行;

④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;

A. 1                            B. 2                         C. 3                    D. 4

8．如果关于x的一元二次方程中，a、b分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P= （       ）

A．                          B．                      C．                     D．

9．将正方体的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（         ）

   A．256种           B．144种               C．120种             D．96种

10． 已知双曲线的方程为：，直线的的方程为：，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支相交于，以为直径的圆与直线相交于，记劣弧    的长度为，则的值为（     ）

A．                                                        B．                          C．                  D．与直线的位置有关

11．若的展开式中第三项为，则          .

12．已知矩形中，沿将矩形折成一个二面角则四面体的外接球的表面积为          .

13．已知点满足，且点，则（是坐标原点）的最大值等于         .

14．设三个正态分布、

和N()（＞0）的密度函数图象如图所示，则

μ₁，μ₂，μ₃按从小到大的顺序排列是                  ；

σ₁，σ₂，σ₃按从小到大的顺序排列是                  .

15．如图，以、为顶点作正，

再以和的中点为顶点作正，

再以和的中点为顶点作正，…，

如此继续下去．有如下结论：

①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；

②每一个正三角形都有一个顶点在直线（）上；

③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点

的坐标是；

④第n个正三角形的不在第n－1个正三角形边上的顶点的横坐标是，则．

其中正确结论的序号是                （把你认为正确结论的序号都填上）．

16．(本小题满分12分)

已知向量=(cos x, 0),=(0,sin x),记函数f(x)=(+)²+sin 2x,

(1)求函数f(x)的最小值及取最小值时的集合；

(2) 若将函数的图象按向量平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0,]上单调递减，求长度最小的.

17．(本小题满分12分)

一个口袋中装有大小相同的个红球（≥5且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖.

(1)记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为.试问当n等于多少时，的值最大？

(2)在(1)的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1,2,3,4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差.

18．(本小题满分12分)

如图：D、E分别是正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4，

(1)求证：A₁E∥平面BDC₁

(2)在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M－BC₁－B₁的大小为60°，若存在，求AM的长，若不存在，说明理由.

19．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=xln x

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若为正常数，设g(x)= f(x)+ f(k－x)，求函数g(x)的最小值；

(3)若a＞0,b＞0证明：f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)

20．(本小题满分13分)

设分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点为椭圆上不同于的一个动点，直线与椭圆右准线相交于两点，证明：以为直径的圆必过椭圆外的一个定点

21．(本小题满分14分)

已知函数f(x)=x²－x+2, 数列满足递推关系式：a_n+1=f(a_n)，，且.

(1)求a₂,a₃,a₄的值；

(2)用数学归纳法证明：当n≥5时，a_n＜2－；

(3)证明：当时，有.

参   考   答   案

1.    2. A     3. C   4 . B     5.     6. C   7. A    8. A     9. D  10. B

11. －2   12. 100π   13.    14. μ₂＜μ₁＜μ₃ ； σ₁＜σ₃＜σ₂（第一空3分，第二空2分）

15. ①②③④

16.(1) ∵f(x)=(+)²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos(2x－)+2       …3分

     ∴f(x)≥0,当且仅当2x－=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时取到等号.

    ∴ 函数f(x)的最小值是0，此时x的集合是{x | x=kπ+，k∈Z}         …6分

  (2) 设=(m,n)，函数f(x) 的图象平移后对应的函数为g(x)，则g(x)= 2cos[2(x－m)－]+2+n

  由题意函数g(x)的图象关于坐标原点中心对称，得

cos[2(0－m)－]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=－2             …8分

①当m= kπ+， k∈Z时，g(x)= 2cos(2x－)=2sin 2x，在[0,]上单调递增，不符合题意，舍去；

②当m= kπ+，k∈Z时，g(x)= 2cos(2x+)=－2sin 2x，在[0,]上单调递减，符合题意. …10分

∴=( kπ+,－2)，k∈Z          【若求出的结果是（kπ+，－2），给10分】

∴长度最小的=( －,－2)                                            …12分

17．(1)一次摸奖从个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，一次摸奖中奖的概率        ……2分                       

设每次摸奖中奖的概率为p，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是，因而在上为增函数,在上为减函数， ……4分

（用重要不等式确定p值的参照给分）

∴当时取得最大值，即，解得或（舍去），则当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大.         …6分

(2)由(1)可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

P

…8分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …10分

Dξ=(0－)²×+(1－)²×+(2－)²×+(3－)²×+(4－)²× =       …12分

18．【方法一】(1)证明：在线段BC₁上取中点F，连结EF、DF

则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，

∴四边形EFDA₁是平行四边形

∴A₁E∥FD，又A₁E平面BDC₁，FD平面BDC₁

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作

EH⊥BC₁于H，连结A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁边上的高为，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==＞∴∠A₁HE＞60°，                    …11分

∴M在棱AA₁上时，二面角M－BC₁－B₁总大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小为60°的点M.                                                    …12分

【方法二】建立如图所示的空间直角坐标系，题意知B(－2,0,0),

D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(2,8, 2).                                                   

(1)证明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                                         …6分

(2)设=（x,y,1）为平面A₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（,,1），同理，设=（x,y,1）为平面B₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A₁－BC₁－B₁为arccos. 即arctan,又∵＞

∴二面角A₁－BC₁－B₁大于60°， ∴M在棱AA₁上时，二面角M－BC₁－B₁总大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小为60°的点M.                           …12分

19. (1)解：∵= ln x+1，解＞0，得x＞；解＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的单调递增区间是(,+∞)，单调递减区间是(0, ).                 …3分

(2) ∵g(x)= f(x)+ f(k－x)=x ln x+(k－x)ln(k－x),定义域是(0, k)

∴= ln x+1－[ln (k－x)+1]= ln                               …5分

由＞0，得＜x＜k，由＜0，得0＜x＜，

∴函数g(x)在(0, ) 上单调递减；在(, k)上单调递增，                …7分

故函数g(x)的最小值是：y_min=g()=kln.                             …8分

(3)∵a＞0,b＞0∴在(2)中取x=，k=2,可得f()+ f(2－)≥2ln1 f()+ f()≥0

ln+ln≥0alna+blnb+(a+b)ln2－(a+b)ln(a+b)≥0

 f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)                                   …12分

20．(1)由题意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故椭圆方程为 …5分

(2)设P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),则A(－2,0),B(2,0),

由A、P、M三点共线，得m=                                                                   …7分

由B、P、N三点共线，得n=,                                            …9分

以MN为直径的圆的方程为(x－4)(x－4)+(y－)(y－)=0,

整理得：(x－4)²+y²－(+)y－9=0      …12分

解得(舍去)或

∴以为直径的圆必过椭圆外的一个定点(7,0),命题成立.                   …13分

【由对称性先猜出在x轴上存在符合要求的定点，再求出该点，结果正确的，给13分.】

21．(1)根据及计算易得       …3分

(2)证明：①，

而＞，故＜2－，即当时，结论成立.    …5分

②假设结论对成立，即.

因为≥，而函数在时为增函数，所以

，

即当时结论也成立.

综合①、②可知，不等式对一切都成立.                  …9分

(3) 由可得，而，于是         …11分

于是当时，，故，所以.…14分

命题人：赵文耀  冯志勇      审题人：陈根成