例1．①将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ B  ）

A．18              B．30                    C．36                   D．48

②某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A_1、B₁、C₁上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有        种. 216

③某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________．266

变式：

1．如图一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块内

种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）

A．96                B．84                C．60                D．48

2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(  C  )

A．            B．               C．            D．

题型二、二项式定理的应用

例2．①若对于任意实数，有，则的值为（ B  ）

A．              B．           C．              D．

②如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　C　）

Ａ．10                  Ｂ．6                Ｃ．5                    Ｄ．3

变式：

1．设，则的值为（　A　）

Ａ．                    Ｂ．                Ｃ．                      Ｄ．

2．展开式中的系数为­___________ -6

例3.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.

①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；

②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.

解：①

② ，，

    ，

例4.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（2）求他在这项考试过程中，恰好参加了一次补考且获得证书的概率。

解: 设“科目A第一次考试合格”为事件，“科目A补考合格”为事件A₂；“科目B第一次考试合格”

为事件，“科目B补考合格”为事件，

 (1)不需要补考就获得证书的事件为A₁?B₁,注意到A₁与B₁相互独立，

则该考生不需要补考就获得证书的概率为

（2)

变式：

1．甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，（）相互独立．

（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，

．

（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件．

，且，，彼此互斥，

．

（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功次”为事件，“乙在两次试跳中成功次”为事件，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且，为互斥事件，所求的概率为

2．盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球，第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球。

（1）求第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率；

（2）记第一次与第二次取到的球的号码的积小于6的概率。

解：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是4”为事件A，则_，

所以第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率是

（2）记“第一次与第二次取到的球的号码的积小于6”为事件B，则_，

所以第一次与第二次取到的球的号码的积小于6的概率

例5．①为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（  B  ）

A．300             B．360           C．420                D．450

②某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( C  )

（A）4                        （B）5                        （C）6                 （D）7

变式：

1．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．10

2．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是  (  D  )

(A)简单随机抽样法     (B)抽签法      (C)随机数表法              (D)分层抽样法

反馈练习

1．如右图，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有（ B ）种。

A．36                    B．60                   C．80                   D．59

2．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树林的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ C  ）

A、30                B、60               C、70                 D、80

3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是(  D  )

   (A) 0．216       (B)0．36        (C)0．432       (D)0．648

4．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（  A  ）

A．             B．           C．             D．

5．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　D　）

Ａ．               Ｂ．               Ｃ．               Ｄ．

6．已知，则( 的值等于

-256

7．二项式的展开式的各项系数和大于32小于128，则展开式中系数最大的项是      . 20　

8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为               ．

9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为              ．

10．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是        ．

11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．

解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

（II）任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是．

3人都参加过培训的概率是．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

12．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．

（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；

（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．

解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．

（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

；

（2）分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，则，．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

．

  （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. 

解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则

，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率

．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

．

14．设进入健身中心的每一位健身者选择甲种健身项目的概率是，选择乙种健身项目的概率是，且选择甲种与选择乙种健身项目相互独立，各位健身者之间选择健身项目是相互独立的。

（Ⅰ）求进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率；

（Ⅱ）求进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目的概率。

解：（Ⅰ）记A表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是甲种项目，B表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是乙种项目，则事件A与事件B相互独立，P（A）＝，P（B）＝。

故进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为：P＝＝P（A）＋＝。

（Ⅱ）记C表示事件：进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目，D表示事件：进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₂表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₃表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₄表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，则P（C）＝，

，

，

。