江西师大附中.鹰潭一中.宜春中学.临川一中.南昌三中五校联考数学试卷命题人:李小昌黄鹤飞审题人:蔡卫强——青夏教育精英家教网——

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试题

江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、临川一中、南昌三中五校联考数学（文科）试卷学科网(Zxxk.Com)

命题人：李小昌黄鹤飞审题人：蔡卫强学科网(Zxxk.Com)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题卡上的相应空格内。）学科网(Zxxk.Com)

1．已知全集={1,2,3,4,5,6}，集合={1,2,3,4}， ={3,4,5,6}，则=（　　）

A．{1,2} B．{3,4} C． D．1

2．已知，则的值等于（　　）

A． B.- C. D.-

3．设数列是等差数列，且是数列的前n项和，则（　　）

A． B． C． D．

4．若函数的反函数是，则=（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（　　）

A． B．2 C． D．4

6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（　　）

A．4p B．5p C．6p D．8p

7．已知的各项系数之和大于,小于,则展开式中系数最大的项是（　　）

A. B. C. D.或

8．将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有（　　）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

9．已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

2,4,6

A． B． C． D．

11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4,沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C―AB―D的平面角大小为，则的值等于（　　）

A. B. C. D.

12．已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。）学科网(Zxxk.Com)

13．函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为．

14．在约束条件下,目标函数的最大值是 .

15．已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值是_ .

16．给出下列命题：

A．函数和的图象关于直线对称。

B．已知函数的交点的横坐标为的值为.

C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

D．若为双曲线上的一点，、分别为双曲线的左右焦点，且，则或.

其中正确的命题是（把所有正确的命题的选项都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）学科网(Zxxk.Com)

17.（本小题满分12分）

在中，分别为角的对边，且满足

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的最小值．

18.（本小题满分12分）

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是．

（Ⅰ）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；

（Ⅱ）求在5月13日抵达灾区的队伍数为多少时概率最大。

19.（本小题满分12分）

设数列和满足且数列是等差数列，数列是等比数列.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）是否存在，使？若存在，求出；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，

M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝NC₁.

（Ⅰ）求证：AM⊥面BC；

（Ⅱ）若二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值为，求的值；

21.（本小题满分12分）

已知，函数在处取得极值，曲线过原

点和点.若曲线在点处的切线与直线的夹

角为，且直线的倾斜角

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若、，求证：

22.（本小题满分14分）

过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.

（Ⅰ）求椭圆的“左特征点”M的坐标；

（Ⅱ）试根据（Ⅰ）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.

2009届师大附中、鹰潭一中高三联考

一、选择题 1--5 ADACB 6--10 ABACD 11―12 CB

二、填空题 13．8 14．7 15．12 16．AB

_{三、解答题}

17.解：（Ⅰ），

，

．…………………………（4分）

　，．………………………（6分）

（Ⅱ）由余弦定理，得　．………（8分）

，．

学科网(Zxxk.Com) 所以的最小值为，当且仅当时取等号．………………（12分）

学科网(Zxxk.Com) 18.（Ⅰ）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且．……………………………（2分）

在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.……………………（6分）

解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.…………（6分）

（Ⅱ）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且.

设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4. ……………………（7分）

由已知有：；

；

；

；

.

答：在5月13日抵达灾区的队伍数为2时概率最大……………………（12分）

19. （I）由已知a₂－a₁=－2, a₃－a₂=－1, －1－(－2)=1

∴a_n₊₁－a_n=(a₂－a₁)+(n－1)?1=n－3

n≥2时，a_n=( a_n－a_n_－₁)+( a_n_－₁－a_n_－₂)+…+( a₃－a₂)+( a₂－a₁)+ a₁

=(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6 =

n=1也合适. ∴a_n= (n∈N*) ……………………3分

又b₁－2=4、b₂－2=2 .而 ∴b_n－2=（b₁－2）?()ⁿ^－¹即b_n=2+8?()ⁿ……(6分)

∴数列{a_n}、{b_n}的通项公式为：a_n= ，b_n=2+()ⁿ^－³

学科网(Zxxk.Com) （II）设

学科网(Zxxk.Com) 当k≥4时为k的增函数，－8?()^k也为k的增函数，而f(4)=

学科网(Zxxk.Com) ∴当k≥4时a^k－b^k≥………………10分

又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k，使f(k)∈（0，）…………12分

20解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AMBC，

学科网(Zxxk.Com) 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面, AM 又.所以AM平面.

（或：连结，又,.）…………(5分)

（II）因为AM平面

且M平面，NM平面

∴AMM, AMNM，

∴MN为二面角―AM―N的平面角. …………（7分）

∴，设C₁N=，则CN=1－

又M=,MN=,

学科网(Zxxk.Com) 连N，得N＝，

在MN中，由余弦定理得

, …（10分）

得=.故=2. … （12分）

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,

C（0,1,0）, A （），设N （0,1,a） ,所以，

，,

因为所以,同法可得.又故AM面BC.

（II）由（Ⅰ）知??为二面角―AM―N的平面角,以下同法一.

21解（Ⅰ）由已知

学科网(Zxxk.Com) ∴ ∴………………（2分）

又且 ∴ （舍去）

∴…（4分）

（Ⅱ）令即的增区间为、

∵在区间上是增函数

∴或则或……（8分）

（Ⅲ）令或

∵

∴在上的最大值为4，最小值为0………………（10分）

∴、时，……………（12分）

22.解（1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，……（3分）

∵被轴平分，∴.即.

即，∴.……………（5分）

于是.

∵，即.………………（7分）

（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点. ………………（9分）

学科网(Zxxk.Com) 证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.

据椭圆第二定义：∵

于是即.∴，又均为锐角，∴，∴.

∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”. ………（14分）

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