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    武汉市2007届高中毕业生二月调研测试

    理科数学试卷  2007.2.5

    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1.复数z= 的值为(    )

    A. (1＋i)   B. －(1＋i)  C. (1－i)    D. －(1－i)

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    2.在等比数列{an}中, a3= , S3=   , 则首项a1=(   )

    A.    B. －   C. 6或－    D. 6或

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    3.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在(  )

    A. x轴上   B. y轴上  C.直线y=x上   D.直线y=x 或y=－x上

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    4.已知全集U=R, A= {x| ≥0}, 则CuA=(   )

    A.{x|－1<x≤0}   B. {x|－1<x<0}   C. {x|－1≤x<0}    D. {x|－1≤x≤0}

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    5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F、M分别为AA1,C1D1,BC的中点,那么直线B1E与FM所成角的余弦值为(   )

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    A.0   B.1  C.       D.

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    6.若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为(    )

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    A. 6   B.12   C.24   D.48

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    7.在△ABC中, D为AC边的中点, E为AB上一点, BC、CF交于一点F, 且 , 若, , 则实数λ的值为(    )

    A.      B.     C.     D.

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    8.将4个相同的小球投入3个不同的盒内, 不同的投入方式共有(  )

    A. 43种    B. 34种    C. 15种    D. 30种

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    9.如果实数x、y满足, 目标函数z=kx＋y的最大值为12, 最小值3, 那么实数k的值为(    )

    A. 2  B. －2   C.    D.不存在

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    10. 函数y=|cos2x|＋|cosx|的值域为(   )

    A. [, 2]    B. [,2]    C. [, ]  D.[,2]                        

    二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

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    11.(1＋x)6(1－x) 展开式中x2项的系数是________

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    12. x→1lim= _________

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    13.如果直线l 过定点M(1,2)且与抛物线y=2x2有且仅有一个公共点, 那么直线l的方程为_______

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    14.正四棱锥S－ABCD内接于一个半径为R的球, 那么这个正四棱锥体积的最大值为_____

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    15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________

    三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写了文字说明，证明过程或演算步骤.

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    16.(本小题满分12分)

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    如图, 在平面四边形ABCD中, AB=AD=1, ∠BAD=θ, 而△BCD是正三角形,

    (1) 将四边形ABCD面积S表示为θ的函数;

    (2) 求S的最大值及此时θ角的值.

     

     

     

     

     

     

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    17. (本小题满分12分)

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    如图, 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中 AB=BC=2, ∠ABC= 120°, 又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上, 侧棱AA1与底面成60°的角, D为AC的中点.

    (1) 求证: AA1⊥BD;

    (2)若面A1DB⊥面DC1B, 求侧棱AA1之长.

     

     

     

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    18. (本小题满分12分)

    A袋中装有大小相同的红球1个, 白球2个, B袋中装有与A袋中相同大小的红球2个, 白球3个. 先从A中取出1个球投入B中, 然后从B中取出2个球. 设ξ表示从B中取出红球的个数.

    (1) 求ξ=2时的概率;

    (2)求ξ的分布列和数学期望

     

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    19. (本小题满分13分)

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    如图, 直线l : y= (x－2) 和双曲线C: － = 1 (a>0,b>0) 交于A、B两点, |AB|= , 又l关于直线l1: y= x对称的直线l2与x轴平行.

    (1)求双曲线C的离心率；

    (2)求双曲线C的方程.

     

     

     

     

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    20. (本小题满分13分)

    已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式: nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2 (n∈N＋)

    (1)若a1=0 , 求a2,a3的值;

    (2) 求证: a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件.

     

     

     

     

     

     

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    21. (本小题满分13分)

    已知函数f(x)=x2＋2x＋alnx

    (1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒为单调函数, 求实数a的取值范围;

    (2) 当t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 

    11.9  12.     13.x=1 或y=4x－2   14. R3   15. (1,－3)

    16.解: (1)△ABD的面积S= absinC=?1?1?sinθ= sinθ

    ∵△BDC是正三角形, 则△BDC面积=BD2 : 而由△ABD及余弦定理可知:

    BD2=12＋12＋2?1?1?cosθ= 2－2cosθ

    于是四边形ABCD面积S= sinθ ＋ (2－2cosθ)   

    S= ＋ sin(θ－) 其中0<θ<π

    (2)由 S= ＋ sin(θ－)  及0<θ<π  则－<θ－<

    在θ－= 时, S取得最大值 1＋  此时θ= ＋ =

    17.(1) 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中, 因为A1在底面ABC上射影落在AC上, 则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线 故侧面A1C⊥面ABC.又 BD为等腰△ABC底边AC上中线, 则BD⊥AC, 从而BD⊥面AC . ∴BD⊥面A1C 又AA1Ì 面A1C  ∴AA1⊥BD

    (2)在底面ABC, △ABC是等腰三角形, D为底边AC上中点, 故DB⊥AC, 又面ABC⊥面A1C

    ∴DB⊥面A1C  , 则DB⊥DA1,DB⊥DC1  , 则∠A1DC1是二面角A1－OB－C1的平面角

    ∵面A1DB面DC1B, 则∠A1DC1=Rt∠, 将平面A1ACC1放在平面坐标系中(如图),  ∵侧棱AA1和底面成60°, 设A1A=a , 则A1=( , a), C1( ＋ 2, a)  A(0,0) , C(2, 0), AC中点D(, 0), 由知: (－, a)?( ＋, a)=0 , ∴a2=3, a=

    故所求侧棱AA1长为

    18.(1) ξ=2表示从B中取出两个红球.

    ① 从A中取一红球放入B中, 再从B中取2红球的概率P= ? =

    ② 从A中取一白球放入B中, 再从B中取2红球的概率P=? =

    ∴P(ξ=2)= ＋ =

    (2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= ? ＋? =

    P(ξ=1)= ?  ＋ ?  =  

    ξ

    0

    1

    2

    P

    ∴ξ的概率分布列为: 

     

    Eξ=1? ＋ 2? = =

    19.  解: (1) 设双曲线一、三象限渐近线l1: － =0 的倾 斜角为α ∵l和l2关于直线l1对称, 记它们的交点为P. 而l2与x轴平行, 记l2与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角)又AB: y=  (x－2), 故tan2α=  则 = , 求得tanα= , tanα=－2(舍)  ∴ =   , e2= = 1＋()2 =    ,因此双曲线C的离心率 .

     (2) ∵ = , 故设所求双曲线方程 － =1 将 y= (x－2),代入 x2－4y2=4k2,

    消去y得: x2－ x＋ ＋ k2=0  设A(x1,y1), B(x2,y2)

    |AB| = |x1－x2| = ?= ?

    = , 化简得到: =   , 求得k2=1 .

    故所求双曲线C的方程为: －y2=1

    20.解: (1)由 nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2  (*)

    变形为n(Sn＋1－Sn)=2Sn＋an＋2, 而Sn是{an}前n项和, 于是有nan＋1=2Sn＋an＋2, a1=0,

    在n=1, a2=2a1＋a1＋2=2, 则a2=2 , 在n=2, 2a3=2(a1＋a2)＋a2＋2=4＋4=8, 则a3=4

    (2)充分性: 由(1)可猜测到: an=2n－2. 下面先用数学归纳法证明: an=2n－2

    ① 在n=1时, a1=2×1－2=0 与已知 a1=0一致 故n=1时, an=2n－2成立.

    ②假设n≤k时, an=2n－2成立,

    ∴Sk=a1＋a2＋……＋ak=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)

    ∵ (*)式 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 则kan＋1=2Sk＋ak＋2 = 2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k2

    ∴ ak＋1=2k=2[(k＋1)－1]

    故n=k＋1时, an=2n－2成立, 综合①②可知: an=2n－2成立对n∈N*恒成立.

    ∴数列{an}的通项为an=2n－1, ∴an－an－1=2(n≥2, n∈N＋)

    由等差数列定义可知{an}是等差数列, 从而充分性得证.

    必要性: 由(1)可知 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 则(n－1)an=2Sn－1＋an－1＋2(n≥2)(**)

    若{an}是等差数列, 则an－an－1=d(n≥2),且an=a1＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:

    n(an＋1－an)=2an－an－1  ∴ nd=an＋d=a1＋(n－1)d＋d ∴a1=0 从而必要性得证.

    因此a1=0 是数列{an}为等差数列的充分条件.

    21. 解: (1)由 f(x)=x2＋2x＋alnx 求导数得f '(x)=2x＋2＋

    f(x)在(0,1)上恒单调,只需f '(x) ≥ 0 或≤0在(0,1)上恒成立.

    只需2x2＋2x＋a≥0 , 或2x2＋2x＋a≤0恒成立

    即只需 a ≥ －(2x2＋2x) 或a≤－(2x2＋2x) 在(0,1)上恒成立.

    又记g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4

    (2) ∵ f(x) =x2＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:

    (2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3

    化简为: 2(t－1)2≥a?ln   ①  

    ∵t>1时, 有t2>2t－1, 则ln >0 . a≤  ②

    构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求导m '(x) = －1=

    则m(x)在x=0时取极大值, 同时也是最大值.故m(x)≤m(0).

    从而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.

    ∴ln = ln(1＋ )≤  < (t－1)2  ③ 

    在t>1时恒成立, 而t=1时③式取等号.  

    ∴ln ≤ (t－1)2      ④

    在t≥1时恒成立. 因此由②④可知实数a取值范围:  a≤2.

     


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