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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 

11.9  12.     13.x=1 或y=4x－2   14. R³   15. (1,－3)

16.解: (1)△ABD的面积S= absinC=?1?1?sinθ= sinθ

∵△BDC是正三角形, 则△BDC面积=BD² : 而由△ABD及余弦定理可知:

BD²=1²＋1²＋2?1?1?cosθ= 2－2cosθ

于是四边形ABCD面积S= sinθ ＋ (2－2cosθ)   

S= ＋ sin(θ－) 其中0<θ<π

(2)由 S= ＋ sin(θ－)  及0<θ<π  则－<θ－<

在θ－= 时, S取得最大值 1＋  此时θ= ＋ =

17.(1) 在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 因为A₁在底面ABC上射影落在AC上, 则平面A₁ACC₁经过底面ABC的垂线 故侧面A₁C⊥面ABC.又 BD为等腰△ABC底边AC上中线, 则BD⊥AC, 从而BD⊥面AC . ∴BD⊥面A₁C 又AA₁Ì 面A₁C  ∴AA₁⊥BD

(2)在底面ABC, △ABC是等腰三角形, D为底边AC上中点, 故DB⊥AC, 又面ABC⊥面A₁C

∴DB⊥面A₁C  , 则DB⊥DA₁,DB⊥DC₁  , 则∠A₁DC₁是二面角A₁－OB－C₁的平面角

∵面A₁DB面DC₁B, 则∠A₁DC₁=Rt∠, 将平面A₁ACC₁放在平面坐标系中(如图),  ∵侧棱AA1和底面成60°, 设A₁A=a , 则A₁=( , a), C₁( ＋ 2, a)  A(0,0) , C(2, 0), AC中点D(, 0), 由知: (－, a)?( ＋, a)=0 , ∴a²=3, a=

故所求侧棱AA₁长为

18.(1) ξ=2表示从B中取出两个红球.

① 从A中取一红球放入B中, 再从B中取2红球的概率P= ? =

② 从A中取一白球放入B中, 再从B中取2红球的概率P=? =

∴P(ξ=2)= ＋ =

(2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= ? ＋? =

P(ξ=1)= ?  ＋ ?  =  

ξ

0

1

2

P

∴ξ的概率分布列为: 

Eξ=1? ＋ 2? = =

19.  解: (1) 设双曲线一、三象限渐近线l₁: － =0 的倾 斜角为α ∵l和l₂关于直线l₁对称, 记它们的交点为P. 而l₂与x轴平行, 记l₂与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角)又AB: y=  (x－2), 故tan2α=  则 = , 求得tanα= , tanα=－2(舍)  ∴ =   , e²= = 1＋()² =    ,因此双曲线C的离心率 .

 (2) ∵ = , 故设所求双曲线方程 － =1 将 y= (x－2),代入 x²－4y²=4k²,

消去y得: x²－ x＋ ＋ k²=0  设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)

|AB| = |x₁－x₂| = ?= ?

= , 化简得到: =   , 求得k²=1 .

故所求双曲线C的方程为: －y²=1

20.解: (1)由 nS_n＋1=(n＋2)S_n＋a_n＋2  (*)

变形为n(S_n＋1－S_n)=2S_n＋a_n＋2, 而S_n是{a_n}前n项和, 于是有na_n＋1=2S_n＋a_n＋2, a₁=0,

在n=1, a₂=2a₁＋a₁＋2=2, 则a₂=2 , 在n=2, 2a₃=2(a₁＋a₂)＋a₂＋2=4＋4=8, 则a₃=4

(2)充分性: 由(1)可猜测到: a_n=2n－2. 下面先用数学归纳法证明: a_n=2n－2

① 在n=1时, a₁=2×1－2=0 与已知 a₁=0一致 故n=1时, a_n=2n－2成立.

②假设n≤k时, a_n=2n－2成立,

∴S_k=a₁＋a₂＋……＋a_k=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)

∵ (*)式 na_n＋1=2S_n＋a_n＋2恒成立, 则ka_n＋1=2S_k＋a_k＋2 = 2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k²

∴ a_k＋1=2k=2[(k＋1)－1]

故n=k＋1时, a_n=2n－2成立, 综合①②可知: a_n=2n－2成立对n∈N*恒成立.

∴数列{a_n}的通项为a_n=2n－1, ∴a_n－a_n－1=2(n≥2, n∈N_＋)

由等差数列定义可知{a_n}是等差数列, 从而充分性得证.

必要性: 由(1)可知 na_n＋1=2S_n＋a_n＋2恒成立, 则(n－1)a_n=2S_n－1＋a_n－1＋2(n≥2)(**)

若{a_n}是等差数列, 则a_n－a_n－1=d(n≥2),且a_n=a₁＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:

n(a_n＋1－a_n)=2a_n－a_n－1  ∴ nd=a_n＋d=a₁＋(n－1)d＋d ∴a₁=0 从而必要性得证.

因此a₁=0 是数列{a_n}为等差数列的充分条件.

21. 解: (1)由 f(x)=x²＋2x＋alnx 求导数得f '(x)=2x＋2＋

f(x)在(0,1)上恒单调,只需f '(x) ≥ 0 或≤0在(0,1)上恒成立.

只需2x²＋2x＋a≥0 , 或2x²＋2x＋a≤0恒成立

即只需 a ≥ －(2x²＋2x) 或a≤－(2x²＋2x) 在(0,1)上恒成立.

又记g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4

(2) ∵ f(x) =x²＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:

(2t－1)²＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t²＋2t＋alnt)－3

化简为: 2(t－1)²≥a?ln   ①  

∵t>1时, 有t²>2t－1, 则ln >0 . a≤  ②

构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求导m '(x) = －1=

则m(x)在x=0时取极大值, 同时也是最大值.故m(x)≤m(0).

从而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.

∴ln = ln(1＋ )≤  < (t－1)²  ③ 

在t>1时恒成立, 而t=1时③式取等号.  

∴ln ≤ (t－1)²      ④

在t≥1时恒成立. 因此由②④可知实数a取值范围:  a≤2.