湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年2月）
（按全国卷文科格式加以改编）
湖南省衡阳市祁东县育贤中学 高明生 （421600）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至12题。第Ⅱ卷13至22题。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷
本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1．已知：
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B。必要不充分条件 C．充要条件 D。既不充分也不必要条件
2．点
在曲线
上移动，在点处的切线的倾斜角为
，则的取值范围是（ ）
3．已知函数
是奇函数，则（ ）
A．
B。
C。且
D。或
4．向量
，若
与
共线（其中
且
），则
等于（ ）
A．
B。
D。
5．对于实数
，符号
表示不超过的最大整数，例如
，定义函数
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B。方程
有且仅有一个解
C。函数
是周期函数
D。函数是增函数
6．设
为椭圆
的离心率，且
，则实数
的取值范围为（ ）
7．已知
是定义在R上的周期为2的偶函数，当
时，
设
，则
、
、
的大小关系为（ ）
8．线段AB长为2，两个端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角分别是
和
，那么点A、B在这个二面角的棱上的射影C、D间的距离是（ ）
A．1 B。
C。2 D。
9．已知非零向量
与
满足
且
，则
为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B。直角三角形
C．等腰非等边三角形 D。等边三角形
10．函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图：
则函数y=f(x)g(x)的图象可能为（ ）
A B C D
11．．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．给出下列四个命题：
①若函数
在区间
为减函数，则
；
②函数
的定义域是
；
③当
；
④若M是圆
上的任意一点，
则点M关于
的对称点
也在该圆上。
所有正确命题的序号是（ ）
A．①④ B。②④ C。①③ D。③④
第Ⅱ卷
注意事项：
请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
13．
上一点（非原点），在处引切线交
轴于
则
= 。
14．正四棱锥S―ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球心O到侧面SAB的距离为
。
15．二项式
的展开式中
的系数为
。
16．如果函数的导函数的图象如右图所示，给出下列判断：
①函数
在区间
内单调递增；
②函数在区间
内单调递减；
③函数在区间
内单调递增；
④当
时，函数有极小值；
⑤当
时，函数有极大值；
则上述判断中正确的是 。
（17）（本小题满分12分）求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（18）（本小题满分12分）已知、为非负数，
求
的最值。
（19）（本小题满分12分）过正方体
的8个顶点中任意两点的直线，与平面
垂直的直线条数有多少？并加以证明。
（20）。（本小题满分12分）湖南是劳务输出大省，据劳动村村长统计，第一季度，劳动村有
的农民在外打工，第二季度，劳动村有
的农民在外打工，第三季度，劳动村有
的农民在外打工，第四季度，劳动村有
的农民在外打工，问劳动村至少有百分之几的农民全年在外打工？
（21）、（本小题满分14分）两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小为
，物体的重量为
，两绳子间的夹角为
。
① 求绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系；
② 当逐渐增大时，的大小怎样变化？
③ 当为何值时，最小，最小值是多少？
④当为何值时，
？
（22）、（本小题满分12分）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
与
的夹角的大小；
（Ⅱ）设
，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.
湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年2月）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．答案：A
解：依题意可知：由
显然：
但
不能推出
。
故选A ；
2．答案：D
解：依题意可知：设点
，则在点P处的切线的斜率为
，即
，又
故选D ；
3．答案：C
解：依题意可知：由
是奇函数，
故选C ；
4．答案：A
解：依题意可知：由
故选A；
5．答案：C
解：如图：函数
是周期函数，T=1。
故选C；
6．答案：A
解：依题意可知：由
，
，
又
。
故选A ；
7．答案：B
解：依题意可知：由图可知：
。
8．答案：A
解：依题意可知：如图，
，
则在
中，
；
则在
中，
；
则在
中，
；
故选A ；
9．答案：D
解：依题意可知：因
表示与
同方向的单位向量，
表示与
同方向的单位向量，故
，而
，
又（+）
，说明
向量与
向量垂直，根据向量加法的平行四边形法则可知：向量所在直线 过向量所在线段中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可逆推
为等腰三角形。又与夹角为
，故为等边三角形。
故选D ；
10．答案：A
解：设
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B与C；故选A。
11．答案：B
解法一：正方体的八个顶点可确定
条直线；
条直线组成
对直线；正方体的八个顶点可确定
个面，其中12个四点面（6个表面，4个面对角面，2个体对角面），8个三点面；每个四点面上有
条直线，6条直线组成
对直线，12个四点面由12×15=180对直线组成；每个三点面上有
条直线，3条直线组成对直线，8个三点面由8×3=24对直线组成；由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
解法二：正方体的八个顶点可确定
个四面体，每个四面体中有三对异面直线，由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
12．答案：A
解：①正确；①中依题意可令
，
当
时，
在
上为减函数，
又因
在区间
为减函数，故
；
②错误；②中
当
当
③错误；③中当
时，
④正确；
圆的对称轴为直径所在的直线，故原命题正确。
故答案为：A。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
13．答案：
解：设P点的坐标为
，则
直线PQ的方程为：
即
，
Q点的坐标为
，R点的坐标为
，
故答案为：；
14．答案：
解：依题意可知：正四棱锥S―ABCD的底面正方形ABCD在过球心O的大圆上，设球半径为R，AC=2R=
，
；
设球心O到侧面SAB的距离为
，连接
，
，过
作
于
，
连接SM，则
，
，
又
4
。
故答案为：；
15．答案：10
解：依题意可知：由
令
，故
的系数为
。
故答案为：10 ；
16．答案：③
解：依题意可知：①错，因在
上，
为减函数，而在
上，
为增函数。
②错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数。
③正确。因在
上，为增函数。
④错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数，故
时，函数有极大值。
⑤错，因在上，为增函数，故
时，函数没有极大值。
故答案为：③；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解：
，设
中有
个元素，显然有
，其中最大的一个是
，由于是正整数集合，故
且
；
当
时，
，此时不符合题意；
当
时，
或
或，显然只有符合题意；
当
时，设
其中
，
此时令
，
若
，则
，
不符合题意；
若
，由于是正整数集合，故
，
故时不符合题意；
综上所述。
（18）解：令
故当
（19）。答：与平面
垂直的直线条数有1条为
；
证法一：依题意由图可知：连
，
连
，
；
证法二：依题意由图建立空间直角坐标系：
，
设与
垂直的法向量为
，则有：
，而
，故
。
（20）解：设S为劳动村全体农民的集合，
为
季度劳动村在外打工的农民的集合，则
为季度劳动村没有在外打工的农民的集合，由题意有
所以
劳动村的农民全年在外打工为
，则
，
但
，
所以
，
即
。
故劳动村至少有
的农民全年在外打工。
（21）解：①作图进行受力分析，如下图示；
由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：
② ∵
，∴
故
在上为减函数，
∴当逐渐增大时，
也逐渐增大。
③要最小，则为最大，∴当为
时，最小，最小值是
。
④要
，则
，∴当为
时，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依题意有
又F（1，0），得直线l方程为
时，l在方程y轴上的截距为
可知
在[4，9]上是递减的，
