西工大附中2009届高考模拟性训练（四）
数 学 试 卷（理 科）
第一卷：选择题
一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．若复数
是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．
2．设集合
，
，那么“m
A”是“mB”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若
，
，则数列｛an｝前7项的和为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
4．函数
，若f(a)=2，则
的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
5．某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为
，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
6．如图，在长方体
中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与
平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
7.若f(x)=
上是减函数，则b的取值范围是
A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1）
8.已知m∈N*,a,b∈R，若
,则a?b=
A．-m B．m C．-1 D．1
9.过点A（11，2）作圆
的弦，其中弦长为整数的共有
A.16条 B.17条 C.32条 D.34条
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c2④
＜
.
其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
11．定义在
上的函数
满足
（
），
，则
等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为
（
），传输信息为
，其中
，
运算规则为：
，
，
，
，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二．填空题(4×4′=16分)：
13．若二项式
的展开式中含
的是第三项，则n的值是
14．已知实数x,y满足
，则
的最小值为
15．已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a= .
16.在长度为 a 的线段内任取两点将其分成三段，则它们可以构成一个三角形的概率为
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
.
（I）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；
（II）当a<0且x[0, π]时，函数f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙两条轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘船都不需要等侯码头空出的概率？
19．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
20. 数列{an}满足a1=1且8an+1
an -16an+1+2an+5=0 (n³1)。记
(n³1)。
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ） 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
21．己知双曲线C:
过点A(
)作直线
与双曲线C交于P,Q两点，若PQ的长等于双曲线C的实轴长的3倍，求直线
的斜率.
22．（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）记f(x)在区间
（
）上的最小值为
，令
．
（1）如果对一切n，不等式
恒成立，求实数c的取值范围；
（2）求证： 
．
西工大附中2009届高考数学模拟试题（四）（理）
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7.C 8.A 9.C 10.B
11．C 12．C
二、填空题：13、4 14．
15．
16.
三、解答题：
17. 解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=
(2分)
（１）当a=1时，f(x)= 
,
当
时，f(x)是增函数，所以f(x)的单调递增区间为
（6分）
（２）由
得
，∴
∴当sin(x+
)=1时，f(x)取最小值3，即
，
当sin(x+)=
时，f(x)取最大值4，即b=4.
（10分）
将b=4 代入上式得
，故a+b=
（12分）
18．解：设甲、乙两条船到达的时刻分别为x,y.则
若甲先到，则乙必须晚1小时以上到达，即
若乙先到达，则甲必须晚2小时以上到达，即
作图，(略).利用面积比可算出概率为
.
19．解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是
等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，所以PA⊥BE.而
AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，
AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中， 
在Rt△PAB中， 
所以，在Rt△AHG中， 
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2），
（Ⅰ）因为
，平面PAB的一个法向量是
，所以
共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设
是平面PBE的一个法向量，则由
得
所以
设
是平面PAD的一个法向量，则由
得
所以
故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
20. 解法：
（I）
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由
得
故
21. 解:设
:
代入
得
设P(
),Q
整理，
此时，
22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分．
解法一：
（Ⅰ）因为
，所以函数定义域为（
，+
），且
．
由
得
，
的单调递增区间为（，0）；
由
得x>0，的单调递增区间为（0，+）．
（Ⅱ）因为在[0，n]上是减函数，所以
，
则
．
（?）
，
又
，
因此
，即实数c的取值范围是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．
因为
，
所以
，
则
．
．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为f(x)在
上是减函数，所以，
则．
（?）因为
对
恒成立．所以
对恒成立．
则
对恒成立．
设
，，则c＜g(n)对恒成立．
考虑
．
因为
，
所以
在
内是减函数；则当时，g(n)随n的增大而减小，
又因为
＝1．
所以对一切
．因此，即实数
的取值范围是．
（?）由（?）知．
下面用数学归纳法证明不等式
．
①当n=1时，左边＝
，右边＝
，左边<右边．不等式成立．
②假设当n=k时，不等式成立．即
．
当n=k+1时，
，
即
时，不等式成立
综合①，②得，不等式
成立．
所以
即
．
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com