1．已知集合，集合,则            ．

2．抛物线的焦点坐标为              ．

3．已知函数，则          ．

4．设定义在上的函数满足，若，则

         .

5．已知两直线方程分别为、，若，则直线的一个法向量为               ．

6．已知，且为钝角，则

           ．

7．在的二面角内放一个半径为的球，使球与两个半平

面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直

截面如图所示），则这两个公共点AB之间的球面距离为

             ．

8．设等差数列的前n项和为．若，且，则正整数         ．

9． 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内

有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水

将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于

水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容

器中水面的高度为            cm．（精确到0.1cm）

10．已知函数，若，

则实数的取值范围是               ．

11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号

是                 ．（填写命题所对应的序号即可）

   ① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

   ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； 

   ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；

④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

12．对任意的实数、，下列等式恒成立的是                             （    ）

A． ；

B． ；

C． ；

D． .

13．若平面向量和互相平行，其中.则（    ）    

A． 或0；    B．；       C． 2或；     D．或.

14．设、为两条直线，、为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是 （　　）

A．若、与所成的角相等，则； 

B．若；

C．若; 

D．若，，则.

15．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则

实数的取值范围是                                                   （　　）

A．；                     B．；   

C．；                                         D．以上结论都不对.

16．（本题满分12分）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点．当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围．

17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知关于的不等式

，其中.

   （1）当变化时，试求不等式的解集；

   （2）对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）．试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由.

18．（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）如图，在直三棱柱中，

，，是的中点，是的中点.

   （1）求异面直线与所成角的大小；  

   （2）若直三棱柱的体积为，求四棱锥的体积.

19．（本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化． 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画．其中：正整数表示月份且，例如时表示1月份；和是正整数；.

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

   （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

   （2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

20．（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.

已知无穷等比数列的首项、公比均为.

   （1）试求无穷等比子数列（）各项的和；

   （2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；

   （3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列的两个（或两个以上）无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.

【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】