湖南省长沙市一中2009年高三第二次模拟试卷
理科数学
命题：长沙市一中高三理科备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设a + bi=
(a，b∈R)，则P(a，b)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在某项测量中，测量结果
～N(2，
)(
＞0)，若在(0，2)内取值的概率为0.4，则 在(0，4)内的概率为（
）
A．0.8 B．
3．已知函数在R上可导，且
= （ ）
A．
B．
C．－3 D．3
4．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，
，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C．
D．3
5．能够使圆
恰有两个点到直线
距离等于1的c的
一个值为 （ ）
A．
B．
C．2 D．3
6．函数y = f (x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式f(x)＞f (?x) +
x的解集为（ ）
A．{x|
或
}
B．{x|
或}
C．{x|或
}
D．{x|
且x≠0}
7．在直角坐标平面上，
=（1，4），
=（?3，1）且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数；不等式f
(ax + 1)≤f (x ?2)对x∈[，1]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[?2，0] B．[?5，0] C．[?5，1] D．[?2，1]
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上）
9．
展开式中x3的系数为
．
10．为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料，两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为 （用数字作答）
11．当x、y满足约束条件
（k为常数）时，能使z
= x + 3y的最大值为12的k值为
．
12．已知抛物线y2 = 16x，椭圆
，则两曲线有公共点时a的最小值为
．
13．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③三棱锥A′―FED的体积有最大值；
④异面直线A′E与BD不可能垂直．
其中正确命题的序号是 ．
14．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[
]= 3，[?1.08] = ?2，定义函数f(x) = x ?[x]．
（i）f(x) 的值域是 ；
（ii）
的最小正周期为 ．
15．如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0，1)，然后它接着按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移动一个单位长度．（i）粒子运动到（4，4）点时经过了 秒；（ii）第2009秒时，粒子所处的位置为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．某人随机地将编号为1，2，3，4的四个大小相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个型号相同的盒子中，每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放法恰当”，否则叫做“放法不恰当”．设放法恰当的情况数为随即变量．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）求的期望与方差．
17．已知向量
，向量
，
(Ⅰ)若
，且
，求实数
的最小值及相应的
值；
(Ⅱ)若
，且
, 求 
的值.
18．如图，在边长为12的正方形A1 AA′A1′中，点B、C在线段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q；将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′ 与AA1重合，构成如图所示的三棱柱ABC―A1B1C1，在三棱柱ABC―A1B1C1中，
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求面PQA与面ABC所成的锐二面角的大小．
（Ⅲ）求面APQ将三棱柱ABC―A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比．
 |
|||
 |
|||
19．据中新网2009年4月9日电，日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火，鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰．火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、……、第50（n－1）米至50n米的圆环面为第n区，……，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，……，以此类推．
（Ⅰ）若第n区每平方米的重量为an千克，请写出an的表达式；
（Ⅱ）第几区内的火山灰总重量最大？
（Ⅲ）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（p 取3，结果精确到万吨）？
20．如图所示，F1、F2是双曲线x2 ? y2 = 1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y = kx
+ b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．
（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式；
（Ⅱ）当
，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．
21．设函数f (x) =
(b，c∈N*)，若方程f(x) = x的解为0，2，且f (?2)＜?．
（Ⅰ）试求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn?f (
) = 1，其中Sn为{an}的前n项和．
求证：
．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
C
A
4．【解析】{an}为等差数列，则{
}也为等差数列且其公差d = 1,
∴
，∴
=
．
5．【解析】圆方程可化为
，则圆心到直线的距离
，当1＜d＜3时，则圆上恰有两个点到直线的距离等于1，
＜|c|＜
，故选D.
6．【解析】y
= f(x)是奇函数，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞
，数形结合．
7．【解析】设l过原点，取线段AB的中点M(?1，
)，则OM⊥l，∴kl =
．
8．【解析】∵f(x)是偶函数且f(x)在[0，+∞)是增函数
∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[
，1]．
∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x
即
．
二、填空题
9．【解析】
，令
有r = 2，∴
．
10．【解析】
= 1440．
11． 【解析】求出交点
代入求出k并验证得k = ?9．
12．
【解析】易求：抛物线焦点F(4，0)，准线L：x = ? 4．椭圆焦点F(4，0)、 F′(4，4)，如图所示．
所以F为两曲线之公共焦点．
设两曲线交于点A，则
所以当H、A、F′共线时，2a有最小值，从而a也达到最小，此时，yA = yF = 4，代入y2 = 16x 得xA = 1，再以A(1，4)代入椭圆得：a2 = 16，从而a = 4．
13．【解析】①在平面A′FA内过点A′作A′H⊥AF，垂足为H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②由①得；
③由①知：当A′H与A′G重合时，三棱锥A′―FED的体积有最大值；
④用反证法：假设A′E与BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．
∴当EH⊥BD时，可证A′E⊥BD．
故①②③正确．
14．【解析】当n≤x＜n + 1(n∈Z)时，y = f(x) = x ? n，
显然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，
也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如图．
答案为：［0，1）；1
15．【解析】（i）20；
（ii）将粒子的运动轨迹定义为数对（i，j）
则它的运动整点可排成数表
（0，0）
（0，1） （1，1） （1，0）
（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）
（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）
（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）
通过推并可知：经过2 = 1×2s，运动到（1，1）
经过6 =2×3s，运动到（2，2）
经过12 =3×4s，运动到（3，3）
∴经过44×45 = 1980s，运动到（44，44）
再继续运动29s，到达点（15，44）．
三、解答题
16．【解析】（1）
= 0，1，2，4．
（1分）
P(= 4) =
P(= 2) =
P(= 1) =
P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =
（7分）
∴的分布列为
0
1
2
4
P
（9分）
∴E=
，
D= (0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1
（12分）
17．【解析】（Ⅰ）∵
，∴
= 0，
（2分）
∴
，
（4分）
又∵
∈R，∴
时，mmin = ?2.
又
，所以
（6分）
（Ⅱ）∵
，且
,∴
（8分）
∴
∴
（10分）
（12分）
18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5
∵AC2 = AB2 + BC2
∴AB⊥BC
又AB⊥BB1
且BC∩BB1 = B
∴AB⊥面BCC1B1 （4分）
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系
则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
设面APQ的法向量为
= (x，y，z)
= (1，?1，1)
而面ABC的法向量可以取
= (0，0，1)
∴
∴面PQA与面ABC所成的锐二面角为arccos
．
（8分）
（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．
∴S四边形BCQP
=
∴VA―BCQP
=×20×3 = 20
又∵V
=
．
∴
．
（12分）
19．【解析】（Ⅰ）
（
）． （2分）
（Ⅱ）设第n区内的面积为bn平方米，
则 
． （4分）
则第n区内火山灰的总重量为
（吨）
（万吨） （6分）
设第n区火山灰总重量最大，则
解得
∴n =50.
即得第50区火山灰的总重量最大. （9分）
（Ⅲ）设火山喷发的火山区灰总重量为S万吨，
则
设
则
①
∴
②
①－②得
∴
（12分）
∵0＜q＜1，∴
（万吨）
因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨． （13分）
20．【解析】（Ⅰ）因为圆O的方程为x2 + y2
= 2，所以d
=
，
可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1)． （4分）
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
，
所以
，
（7分）
所以
=
=
，
因为|AB| =
×
=
，
O到AB的距离
，
（11分）
所以
=
∈
．
（13分）
21．（Ⅰ）【解析】
．
（2分）
由f (?2) =
又∵b，c∈N* ∴c = 2，b = 2
∴f (x) =
．
（4分）
令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2
令f′(x)＜0得：0＜x＜2
∴f(x)的单调递增区间为（?∞，0），（2，+∞）
f(x)的单调递减区间为（0，1），（1，2）． （6分）
（Ⅱ）证明：由已知可得：2Sn = an ? 
，
两式相减得：(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 （n≥2）
∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1 （7分）
当n =1 时，2a1 = a1 ?
若an = ?an?1，则a2 = ?a1 = 1与an≠1矛盾．
（定义域要求an≠1）
∴an ? an?1 = 1，∴an = ?n． （8分）
要证的不等式转化为
先证不等式
令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?
（10分）
则g′(x) =
，h′(x) =
∵x＞0 ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0
∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上
∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0 （12分）
∴
故
，即
．
（13分）
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