1．集合（其中i为虚数单位），，且，则实数的值为  (    )

A．              B．            C．或          D．

2．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．在边长为1的等边中，设，则（    ）

   A．           B．0          C．          D．3

4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，

俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（     ）

A．      B．   C．      D．

5．下列命题错误的是（     ）

A．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。

B．“”是“”的充分不必要条件。

C．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。

D．对于命题，使得；则是，均有。

6．直线与圆的位置关系是（    ）

   A．相离          B．相交           C．相切            D．不确定

7．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（    ）

A．3                    B．4                     C．2和5               D．3和4

8. 已知函数的定义域为[―2，，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如右图所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若两正数满足，则的取值范围是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非选择题（共110分）

9. 已知，若，,则      。

10.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填           。

11. 以、为焦点的椭圆＝１（）上

一动点P，当最大时的正切值为2，

则此椭圆离心率e的大小为      。

12. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和N^*)的直线的斜率是__________。

（★请考生在以下三个小题中任选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）

13．极坐标系中，曲线和相交于点，则＝　　　　　　．

14．函数的最大值是         。

15．如图，已知：内接于，点在

的延长线上，是⊙的切线，若，

，则的长为         。

16．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小题满分14分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米

       （Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

18．（本小题满分12分）

已知关于的一元二次函数

    （Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；

（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。

19．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，

AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120⁰，F为AE中点。

(Ⅰ) 求证：平面ADE⊥平面ABE ；

(Ⅱ) 求二面角A―EB―D的大小的余弦值；

（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离。

20．（本小题满分14分）

如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，。

（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；

（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，

求△ABP面积最大值．

21．（本小题满分14分）

已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

惠州市2009届高三模拟考试数学试题

（理科）评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

C

D

C

D

A

B

1、解析：则中的复数必须为实数，所以m=3；实部恰为-9, ∴选：B

2、解析：抽取学生数为（人）。∴选A。

3、解析：，故选C。

4、解析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

，∴选D．

5、解析：命题的否定是只否定结论，∴选C.

6、解析：圆心（0，0）到直线的距离，     圆的半径为1，可能相切或相交。故选D。

7、解析：P点取法总共有16种，由图知直线截距为3时经过的点最多；∴选A．

8、解析：由题意，函数的图象大致如图，

    ，

则由不等式组所表示的区域如图所示，

的取值范围即区域内的点与

连线的斜率的取值范围，

，故选B。

二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）

9、3      10、   3（注：答题卡填的是也给5分）  11、 

12、4       13、     14、4    15、 4

9、解析：或（舍去），故

10、解析：=1时进入循环此时=2¹=2，=2时再进入循环此时=2²=4，=3时再进入循环此时=2⁴=16，∴=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填3。

（注：答题卷上填的是也给5分）

11、解析：当最大时P为椭圆与y轴的交点，的正切值为2，即，∵，则椭圆离心率e为。

12、解析：由消去得。直线的斜率为，∴填4．

13、解析：在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆和直线，作图易知＝。

14、解析：

15、解析：连结，则，且由知为正三角形，所以。又因为是⊙的切线，即，所以

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期为，        …………………………………………………… 4分

最大值为6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小题满分14分）

解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，     ………………2分

      要耗油（升）。      ………………4分

 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。…6分

     （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

        依题意得

 ………8分

     令得  ……10分

当时，是减函数； 当时，是增函数。

 当时，取到极小值   …………………………12分

         因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。14分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为

要使在区间上为增函数，

当且仅当>0且        …………………………………………2分

若=1则=－1，

若=2则=－1，1

若=3则=－1，1；                 …………………………………………4分

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为             …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，

函数上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

构成所求事件的区域为三角形部分。    …………………………………………8分

由 …………………………………………10分

∴所求事件的概率为 …………………………………………12分

19.(本小题满分14分)

解法1：(Ⅰ)证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OFBA ………………2分

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD      ………………4分

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A―EB―D与二面角F―EB―D相等，由(Ⅰ)知二面角F―EB―D的平面角为∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC为正方形，∴∠FOD=45⁰，

∴二面角A―EB―D的余弦值为。   ……………………10分

（Ⅲ）∵OFDC为正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，

∴点F到平面BDE的距离为FC，∴点F到平面BDE的距离为。……………14分

解法2：取BE的中点O，连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，

则由已知条件有: ，，

 ……………………………2分

设平面ADE的法向量为，

则由?

及?

可取                 …………………………… 4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为＝.

∵??=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）设平面BDE的法向量为，

则由?

及?可取……… 7分

∵平面ABE的法向量可取为＝                         …………8分

∴锐二面角A―EB―D的余弦值为=，………… 9分

∴二面角A―EB―D的余弦值为。          ……………………………10分

（Ⅲ）点F到平面BDE的距离为。……………………………14分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由得,              ……………………2分

设则

因为=

所以解得                      ………………4分

所以直线的方程为抛物线C的方程为        …………6分

（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，

，所以 所以

此时到直线的距离  ………………8分

由得，                ………………………10分

∴△ABP的面积最大值为。     …………………………14分

（Ⅱ）方法2：由得，           ……………………8分

……9分

设 ，

因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，

               ……………………………12分

因为，所以当时，_max=，此时

∴△ABP的面积最大值为。……………………………14分

21．(本小题满分14分)

解法一：（Ⅰ），，，                                ……………………2分

又，是以为首项，为公比的等比数列．     ………3分

，．               ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，               ……………………5分

， 原不等式成立．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．     ……………………10分

取，…………12分

则．

原不等式成立．                           ……………………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，     ……………………5分

则…………6分

，当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．                                ……………………8分

（Ⅲ）同解法一．