2．已知全集，集合，，则集合（  D  ）

A．         B．               C．            D．

解：，所以

3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（  C  ）

A．30            B．25    C．20            D．15

解：设样本中松树苗的数量为，则

4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ B  ）

A．64            B．100          C．110          D．120

解：设公差为，则由已知得

5．直线与圆相切，则实数等于（ C ）

A．或           B．或          C．或          D．或

解：圆的方程，圆心到直线的距离等于半径或者

6．“”是“对任意的正数，”的（ A ）

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

解：，显然也能推出，所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件。

7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ D   ）

A．10            B．4              C．1              D．

解：于是

8．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为 (  C  )

A．           B．           C．           D．

解：设则

即，在中，

从而点的球面距离为

9．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（  B  ）

A．         B．         C．         D．

解：如图在中，

   ，

10．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D   ）

C．              D．

解：由勾股定理，又，

    ，,而，所以，得

11．定义在上的函数满足（），，则等于（  A  ）    A．2              B．3              C．6              D．9

解：令，令；

令得

12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（  C  ）

A．11010              B．01100              C．10111              D．00011

解：C选项传输信息110，，应该接收信息10110。

13．的内角的对边分别为，若，则  ．

解： 由正弦定理，于是

14．的展开式中的系数为     84   ．(用数字作答)

解：，令，

因此展开式中的系数为

15．关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为　　②　　．（写出所有真命题的序号）

解：①，向量与垂直

②

③构成等边三角形，与的夹角应为

所以真命题只有②。

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有   96     种．（用数字作答）．

解：分两类：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有

因此共有方案种

17．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

18．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.

（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；

（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．

解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 种结果，则所求概率 ．

（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为 ．

19．（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解：解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，．

在中，．

在中，．，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

，．

点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，如图，可取，则，

，

即二面角为．

20．（本小题满分12分）

已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

解：（Ⅰ） ， ，

          ，又，，

          数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．

设…，     ①

则…，②

由①②得

       ，

．又…．

数列的前项和 ．

21．（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解：解法一：（Ⅰ）如图，设，，

把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

       ．

，解得．即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

22．本小题满分14分）

设函数其中实数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；

（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．

解：（Ⅰ） ，又，

 当时，；当时，，

在和内是增函数，在内是减函数．

（Ⅱ）由题意知 ，

即恰有一根（含重根）． ≤，即≤≤，

又， ．

当时，才存在最小值，． ，

 ．   的值域为．

（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≥；

当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≤；

综上可知，实数的取值范围为．