例1  已知，若求的范围。

错误解法  由条件得

②×2－①得                                                    

①×2－②得                                                 

+得 

错误分析  采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法  由题意有

解得：

把和的范围代入得

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

例2     证明勾股定理：已知在中，，求证

错误证法  在中，而，

，即

错误分析  在现行的中学体系中，这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。

(2)  验算的训练

验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。

例3   已知数列的前项和，求

错误解法 

错误分析  显然，当时，，错误原因，没有注意公式成立的条件是因此在运用时，必须检验时的情形。即：

例4   实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。

错误解法  将圆与抛物线 联立，消去，

得                                        ①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得  

 解之，得

错误分析  （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得解之，得

因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。

思考题：实数为何值时，圆与抛物线，

（1）    有一个公共点；

（2）    有三个公共点；

（3）    有四个公共点；

（4）    没有公共点。

养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。

(3)  独立思考，敢于发表不同见解

受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。

例5   30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？

解  因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。

思 路 分 析  传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。

例6   解方程

考察方程两端相应的函数，它们的图象无交点。

所以此方程无解。

例7  设是方程的两个实根，则的最小值是（     ）

思路分析  本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根，

当时，的最小值是8；当时，的最小值是18；

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。