南海中学2008届高三立刻数学综合训练（八）
荆州中学、宜昌一中2008届高三年级十月联考数学试卷
一。选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在由正数组成的等比数列
中，
，则
（ ）
A．6
B．
2．如果复数
的实部与虚部互为相反数，则
的值等于
（ ）
A．0
B．
3．已知函数
在点
处连续，则
（ ）
A．11
B．
C．3
D．
4．已知函数
满足
，且
时，
，则
与
的图像的交点的个数为
（ ）
A．1
B．
5．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数
的图像是中心对称图形，其对称中心的坐标是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知等比数列中，
，公比为
，且该数列各项的和为
，
表示该数列的前
项和，且
，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
在R上可导且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设函数的定义域为
,若函数满足: (1)在内单调递增,(2)方程
在内有两个不等的实根,则称为递增闭函数.若
是递增闭函数,则实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D
10．已知集合
，若集合
，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D． 
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）
11．函数
的反函数
的图像与
轴交于点
，则方程
在
上的根是
12．数列
是等差数列，
，其中
，则通项公式
13．已知函数
在
单调递增，且对任意实数
恒有
，若
，则的取值范围是
14．若
表示
的各位上的数字之和，如
，所以
，记
，则
15．函数
，且满足
，若
，则集合
中最小的元素是
三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）已知：命题
是
的反函数，且
；
命题
集合
，且
，试求实数
的取值范围使得命题
有且只有一个真命题
17．（本题满分12分）已知函数
同时满足：1不等式
的解集有且只有一个元素；2在定义域内存在
，使得不等式
成立．设数列的前
项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数
的个数称为这个数列的变号数，令
（为正整数），求数列的变号数
18．（本题满分12分）函数是定义域为
的奇函数，且对任意的
，都有
成立，当
时，
.
（1）当
时，求函数的解析式;
（2）求不等式
的解集.
19．（本题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率
与日产量（万件）之间大体满足关系：
（其中
为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如
表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额
（万元）表示为日产量（万件）的函数
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
20．（本题满分13分）已知正项数列中，
，点
在抛物线
上；数列
中，点
在过点
，以
为方向向量的直线
上．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若
，问是否存在
，使
成立，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
（3）证明不等式：
，
，……
21．（本题满分14分）已知函数
（为常数且
）
（1）当
时，求的单调区间
（2）若在
处取得极值，且
，而
在
上恒成立，求实数的取值范围（其中
为自然对数的底数）
一．选择题
1~10 BADDA BCBCD
二．填空题
11．2
12．
13．
14．8 15．45
三．解答题
16．解：因为
，所以
………………………………（1分）
由
得
，解得
………………………………（3分）
因为
，故集合
应分为
和
两种情况
（1）时，
…………………………………（6分）
（2）时，
……………………………………（8分）
所以得
…………………………………………………（9分）
若
真假，则
…………………………………………………………（10分）
若假真，则
……………………………………………………………（11分）
故实数的取值范围为或………………………………………（12分）
17．解：（1）由1
的解集有且只有一个元素知
或 ………………………………………（2分）
当
时，函数在
上递增，此时不满足条件2
综上可知
…………………………………………（3分）
……………………………………（6分）
（2）由条件可知
……………………………………（7分）
当
时，令
或
所以
或
……………………………………………………………（9分）
又
时，也有
……………………………（11分）
综上可得数列
的变号数为3……………………………………………（12分）
18．解：（1）当
时，
………………………（1分）
当
时，
……………………（2分）
由
，知又是周期为4的函数，所以
当
时
…………………………（4分）
当
时
…………………………（6分）
故当
时，函数的解析式为
………………………………（7分）
（2）当
时，由
，得
或
或
解上述两个不等式组得
…………………………………………（10分）
故
的解集为
…………………（12分）
19．解：（1）当
时，
，
……………………（2分）
当
时，
，
综上，日盈利额
（万元）与日产量
（万件）的函数关系为：
…………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0……………………………（6分）
当时，
当且仅当
时取等号
所以
当
时，
，此时……………………………（8分）
当
时，由
知
函数在
上递增，
，此时
……（10分）
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为
万件时，可获得最大利润…………（12分）
20．解：（1）将点
代入
得
因为直线
，所以
……………………………………（3分）
（2）
，
当为偶数时，
为奇数，
……………（5分）
当为奇数时，为偶数，
（舍去）
综上，存在唯一的
符合条件…………………………………………………（7分）
（3）证明不等式
即证明
成立，下面用数学归纳法证明
1当
时，不等式左边=
，原不等式显然成立………………………（8分）
2假设
时，原不等式成立，即
当
时
=
，即时，原不等式也成立 ………………（11分）
根据12所得，原不等式对一切自然数都成立 ……………………………（13分）
21．解：（1）由
得
……………………（1分）
又的定义域为
，所以
当
时，
当
时，
，为减函数
当
时，
，为增函数………………………（5分）
所以当时，的单调递增区间为
单调递减区间为
…………………（6分）
（2）由（1）知当
时，
，递增无极值………（7分）
所以在
处有极值，故且
因为
且
，所以在
上单调
当为增区间时，
恒成立，则有
………………………………………（9分）
当为减区间时，恒成立，则有
无解 ……………………（13分）
由上讨论得实数的取值范围为
…………………………（14分）
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