河西区2008―2009学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数 学 试 卷（理科）
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
得分
第I卷 （选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案标号字母填在下面的对应题目处。）
1．已知函数
的定义域为M，
的定义域为N，则
等
于
A．
B．
C．
D．
2．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A． 4 B．－5
C．－6 D．－8
3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为
2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
4．给出下列四个命题：
①若
则
；
②“
”是“函数
无零点”的充分不必要条件；
③
；
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题其中是真命题的为
A．①③ B．①②
C．①④ D．②③
5．已知向量
，则
的面积等于
A．1
B．
C．7 D．
6．执行右边的程序框图，则输出的S等于
A．162 B．165
C．195 D．198
7．极坐标系中，点
到直线
的距离是
A．
B．1
C．
D．3
8．设中心在原点的椭圆
的离心率为
，焦点在
轴上，且长半轴长为10，若曲线
上
任意一点到椭圆C
的两个焦点的距离的差的绝对值等于6，则曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
9．已知
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
10．设
是定义在R上的奇函数，且当
时，
，若对任意的
，
不等式
，则实数
的取值范围是
A．
B． 
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在题中横线上。）
11．一个学校共有N名学生，要采用等比例分层抽样的方法从全体学生中抽取样本容量为
的样本，已知高三年级有
名学生，那么从高三年纪抽取的学生人数是___________。
12．设复数
满足
则
___________________。
13．已知函数
是R上的减函数，则的取值范围是________________。
14．已知
是方程
的两个根，且
则
=______
15．如图，已知
与
相交于A，B两点，直线PQ切
，
于P，与交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN
=2，PQ=12，则PM=________________。
16．某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有___________种，（用数字用作答）
三、解答题：（本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
已知向量
，函数
的最小正周期为
，最大值为3。
（I）求
和常数的值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间及使
成立的的取值集合。
18．（本小题满分12分）
一个袋中装有大小相同的白球和黑球共10个，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
。
（I）求原来袋中白球的个数；
（Ⅱ）从原来袋中任意摸出3个球，记得到黑球的个数为
，求随机变量的分布列和数学期望
19．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥P―ABC中，底面是边长为
的等边三角形，又PA=PB=
，
（I）证明平面
平面ABC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程是
，过点
的直线
与抛物线C相交于不同的两点A，B
（I）求抛物线C的方程及直线的斜率
的取值范围；
（Ⅱ）求
（用表示）
21．（本小题满分14分）
已知定义在正实数集上的函数
其中
，设两曲线
与
有公共点，且在公共点处的切线相同。
（I）若
，求两曲线
与
在公共点处的切线方程；
（Ⅱ）用表示，并求的最大值。
22．（本小题满分14分）
已知数列
的通项
为函数
在[0，1]上的最小值和最大值的和，又数列
满足：
，其中
是首项为1，公比为
的等比数列的前项和
（I）求的表达式；
（Ⅱ）若
，试问数列
中是否存在整数，使得对任意的正整数都有
成立？并证明你的结论。
河西区2008―2009学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
C
D
A
A
B
二、填空题：（每小题4分，共24分）
11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．4 16．120
三、解答题：（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）
17．解：（I）
由
，得
。
又当
时
，得
（Ⅱ）当
即
时函数递增。
故
的单调增区间为
，
又由
，得
，
由
解得
故使
成立的
的集合是
18．解：（I）设袋中有白球个，由题意得
，
即
解得
或
（舍），故有白球6个
（法二，设黑球有个，则全是黑球的概率为
由
即
，解得
或
（舍），故有黑球4个，白球6个
（Ⅱ）
，
0
1
2
3
P
故分布列为
数学期望
19．解：（I）取AB的中点O，连接OP，OC
PA=PB 
PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
，
面ABC
又PO
面PAB，面PAB面ABC
（Ⅱ）以O为坐标原点，
分别以OB，OC，OP为轴，
轴，
轴建立坐标系，
如图，则A
设平面PAC的一个法向量为
。
得
令
，则
设直线PB与平面PAC所成角为
于是
20．解：（I）由题意设C的方程为
由
，得
。
设直线
的方程为
，由
②代入①化简整理得 
因直线与抛物线C相交于不同的两点，
故
即
，解得
又
时仅交一点，
（Ⅱ）设
，由由（I）知
21．解：（I）当
时，
设曲线
与
在公共点（
）处的切线相同，则有
即
解得
或
（舍）
又
故得
公共点为
，
切线方程为 
，即
（Ⅱ）
，设在（
）处切线相同，
故有
即
由①
，得
（舍）
于是
令
，则
于是当
即
时，
，故
在
上递增。
当
，即
时，
，故在
上递减
在
处取最大值。
当
时，b取得最大值
22．解：（I）
的对称轴为
，又当
时，
，
故
在[0，1]上是增函数
即
（Ⅱ）
由
得
①―②得
即
当
时，
，当
时，
于是
设存在正整数
，使对，
恒成立。
当时，
，即
当时，
。
当
时，
，当
时，
，当
时，
存在正整数
或8，对于任意正整数
都有成立。
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