湖北省武汉市武昌区 2009届高三年级五月调研测试
理 科 数 学 试 卷
2009.5.21
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。非选择题用黑色墨水的签字笔直接答在
答题卡上。答在试题卷上无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中
表示球的半径
球的体积公式
，其中表示球的半径
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知I为实数集，集合
，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
2．复数
的共轭复数的平方为（ ）
A.1+2
i B.3+2i C.-1-2i D.-1+2i
3．函数f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在点x=x0处有极限的（ ）
A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要的条件
4．已知直线
按向量
平移后得到的直线
与圆
相切，那么
的值为（ ）
A.
或1 Ｂ．0或
Ｃ．
或7 Ｄ．
或
5．如图,P为△OAB所在平面上一点，
, 且P在线段AB的垂直平分线上,向量
,若 
,则
=( )
A. 
B. 
D.
6．已知等比数列
的公比为
，其前
项和为
，若
成等差数列，则
等于（ ）
A．
B．或1
D.或
7．设f(x)为可导函数，且满足
,则过曲线y=f(x)上一点
处的切线斜率为( )
A.4 B
D.
8．设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余． 记作
，已知
，则b的值可以是（ ）
A． 1012 B．
9.如图，已知球
是棱长为2 的正方体 
的内切球，则平面
截球的截
面面积为 （ ）
A．
B．
C．
D． 
10．已知点P是椭圆
上的动点，F
、F
分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，则
的取值范围（ ）
A.[0，
] B. [0，
] C. [0，2 ） D. 
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11．双曲线
的焦点坐标为
.
12．已知角
满足条件
，则
的值为
.
13若
表示的平面区域是三角形，则实数
的取值范围是
.
14．某次抽样调查结果表明，考生的成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，则考生成绩在60至84分之间的概率为 . （参考数据：
=0.8413，
=0.9770，
=0.9987）
15．设函数
使关于
的不等式
在
至少存在一个解，则实数的取值范围为
三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知
，
，其中
，设函数
.
（1）求函数
的单调增区间；
（2）若关于
的方程
有两相异实根，求实数的取值范围.
17．（本小题满分12分）
为了迎接中华人民共和国建国60周年，中央电视台为庆典拟举办一期选拔节目,选拔一批素质较为过硬的群众参加天安门城楼的义务服务工作，假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
,
,
,
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为
,求随机变量的分布列与数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP
AB， AB=BC=
，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将
沿CD折起，使得
平面ABCD．
（1）求证：AP//平面EFG；
(2) 求
与平面
所成角的大小.
（3）求二面角
的大小.
19．（本小题满分12分）
已知点
，点
在
轴上，点
在
轴正半轴上，点
满足
，
．
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）已知点
，若过点
的动直线
交轨迹于
两点，直线
交轨迹于另一点
，证明直线
恒过一个定点，并求出定点坐标．
20．（本小题满分13分）
已知
.
（1）当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
（2）若f(x)在[1,e]上的最小值为
，求a的值；
（3）若f(x)<x
在(1,+
)上恒成立，试求a的取值范围.
21．（本小题满分14分）
把正奇数列
中的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表.设
是位于这个三角形数表中从上往下数第
行,从左向右数第
个数.
（1）若
,求
的值;
（2）已知函数
的反函数为
,
),若记三角形数表中从上往下数第
行各数的和为
.①求数列
的前项的和
.②令
的前项之积为
,求证:
且当
或
时,
.当
时,
. …………………………10分
结合图象可知所求的取值范围为
. ……………………………………12分
17．解:(1)记“该选手能正确回答第
轮问题”的事件为
,
则
.
该选手进入第四轮才被淘汰的概率:
.……………6分
(2)由题意
的所有可能取值分别是1, 2, 3, 4,且
,
，
方法二： 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．
∵E,F分别为PC,PD的中点,
∴
//
,同理
//
又
//AB,
//
平面EFG//平面PAB.
又PA
平面PAB,
平面EFG．………………………………………4分
（2）由已知底面ABCD是正方形， 
.
又∵
面ABCD，
.
又
,
平面PCD,
.
过点F作
于
,则
.
连结
,则
为直线
与平面
所成的角. …………………6分
由
∽
,得
.在
中求得
.
而
，
，
.
.即动点
的轨迹
的方程为
.…………4分
（2）设点
，
，
.
三点共线，
，即
.
即
，
. ………………………………………6分
三点共线，
，即
.
，即
.
=f(e)=1-
=
,得a=
(舍去). …………………………………6分
③若
即-e<a<-1，则在（1,
）上为减函数,在（,e）上为增函时数.=f(-a)=
=,得
.
综上知a=-
.……………………………………………………………………8分
（3）由
,得
.
令
,则
.
于是
.由
知
.
在
上单调递减,从而
.
所以
在上单调递减,于是
∴
. ………………………………………………………8分
②
,
即证:
. …………………………………10分
先证:
.
1°
时,显然成立.
2°假设
时,
.
则
时，
,即当时,也成立.
由1°2°知成立.
从而
. ………………………………………14分
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