浙江省宁波市2009年4月高三模拟考试卷
数学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集
，集合
，
，则
A．
B．
C．
Ｄ．
2、某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是
A．7 B．
3、已知定义在复数集
上的函数
满足
，则
等于
A．
B．
C.
D．
4、已知两个平面
、
，直线
，则“
”是“直线
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、已知函数
，其导函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式为
A．
B．
C．
D．
6、下列命题中是假命题的是
A．
上递减
B．
C．
D．
都不是偶函数
7、已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为
A．
B．
C．
D．
8、对于非零向量
，定义运算“#”：
，其中
为的夹角．有两两不共线的三个向量
，下列结论：①若
，则
；②
；③若
，则
；④
；⑤
．其中正确的个数有
A．１个 B．２个 C．３个 D．４个
9、已知
满足
且目标函数
的最大值为7，最小值为１，
则
A．2 B．
10、定义在
上的函数满足
，当
时
，则
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11、已知双曲线的右焦点为
，一条渐近线方程为
，则此双曲线的标准方程是 ▲ ．
12、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ▲ cm3．
13、若
的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为
▲ .（用数字作答）
14、若过点
可作圆
的两条切线，则实数的取值范围为 ▲ ．
15、已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的的两块相邻区域种不同的植物，共有 ▲ 种不同的种法．
16、由9个正数组成的矩阵
中，每行中的三个数成等差数列，且
，
，
成等比数列.给出下列结论：①第2列中的
，
，
必成等比数列；②第1列中的
，
，
不一定成等比数列；③
；④若9个数之和等于9，则
．其中正确的序号有
▲ （填写所有正确结论的序号）．
17、若函数
，其图象如图所示，则
▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
18、（本小题14分）
在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
，
，
边上的中线
的长为
．
(Ⅰ) 求角
和角
的大小；
(Ⅱ) 求的面积．
19、（本小题14分）
盒子中装着标有数字1、2、3、4的卡片分别有1张、2张、3张、4张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用
表示取出的3张卡片的最大数字，求：
（Ⅰ）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；
（Ⅲ）设取出的三张卡片上的数字之和为
，求
．
20、（本小题14分）
如图，已知
为平行四边形，
，
，
，点
在
上，
，
，
交
于点
，现将四边形
沿折起，使点
在平面
上的射影恰在直线上．
(Ⅰ) 求证：
平面；
(Ⅱ) 求折后直线
与直线
所成角的余弦值;
(Ⅲ) 求三棱锥
的体积．
21、（本小题15分）
已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
分别为其左右焦点．一动圆过点
，且与直线
相切．
(Ⅰ)
(?)求椭圆
的方程；
(?)求动圆圆心轨迹的方程；
(Ⅱ) 在曲线上有两点
，椭圆上有两点
，满足
与
共线，
与
共线，且
，求四边形
面积的最小值．
22、（本小题15分）
已知函数
．
(Ⅰ)
若
为
的极值点，求实数的值；
(Ⅱ)
若在
上为增函数，求实数的取值范围；
(Ⅲ)
若
时，方程
有实根，求实数
的取值范围．
宁波市2009年高三模拟考试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． A 2． B 3． C 4． A 5．B
6． D 7． A 8． C 9． D 10．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11． 
12．
13．24
14．
15．168 16．①②③ 17．1：（-6）：5：（-8）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
18．解：(Ⅰ)由
---------4分
由
，得
即
则
，即
为钝角，故
为锐角，且
则
故
． ---------8分
(Ⅱ)设
，
由余弦定理得
解得
故
．
---------14分
19．解：（1）
--------4分
（2）x可能取的所有值有2,3,4 --------5分
--------8分
∴x的分布列为：
∴Ex=
--------10分
（3）当
时，取出的3张卡片上的数字为1,2,2或1,2,3
当取出的卡片上的数字为1,2,2或1,2,3的概率为
，
∴
--------14分
20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又因为BN为平面BDN与平面BCEF的交线，
∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即为点B，即BD⊥平面BCEF. --------4分
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=
，DN=
，∴折后图中BD=3，BC=3
∴
，
∴
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
. --------９分
法二．在线段BC上取点M，使BM=FN，则MN//BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角。
又MN=BF=2， DM=
，
。
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为。
（Ⅲ）∵AD//EF，
∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴
即所求三棱锥的体积为
. --------14分
21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得
，
则所求椭圆方程
. --------3分
(?)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为
，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为
. --------6分
(Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而
.
--------8分
设直线
的斜率为
，则
,直线的方程为：
直线PQ的方程为
，
设
由
，消去
可得
由抛物线定义可知：
----10分
由
，消去得
，
从而
，
--------12分
∴
令
，
∵k>0，则
则
所以
--------14分
所以四边形
面积的最小值为8.
--------15分
22．解：（Ⅰ）
∵
为
的极值点，∴
∴
且
∴
.
又当时，
，从而
为的极值点成立。
--------4分
（Ⅱ）因为在
上为增函数，
所以
在上恒成立. --------6分
若，则
，
∴在上为增函数不成立；
若
，由
对
恒成立知
。
所以
对
上恒成立。
令
，其对称轴为
，
因为，所以
，从而
在上为增函数。
所以只要
即可，即
所以
又因为，所以
．
--------10分
（Ⅲ）若
时，方程
可得
即
在
上有解
即求函数
的值域．
法一：
令
由
∵
∴当
时，
，从而
在(0,1)上为增函数；
当时，
，从而在(1，+∞)上为减函数。
∴
，而可以无穷小。
∴
的取值范围为
.
--------15分
法二：
当
时，
，所以
在上递增；
当
时，
，所以在上递减；
又
，∴令
，
.
∴当
时，
，所以
在上递减；
当
时，
，所以在上递增；
当时，，所以在上递减；
又当
时，
，
当
时, 
,则
，且
所以的取值范围为. --------15
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