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    (Ⅱ) 在曲线上有两点.椭圆上有两点.满足与共线.与共线.且.求四边形面积的最小值． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设椭圆C1：(a>b>0)与双曲线C2：在第一象限只有一个公共点P，

    (1)试用b表示P点的坐标；

    (2)设F1、F2是椭圆C1的两个焦点，求面积S的最大值及此时b的取值；

    (3)在双曲线C2上是否存在点Q，使？若不存在，说明理由；若存在，求出b的取值范围．

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    已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    2
    =1（a＞
    		2
    ）的离心率为
    		2
    2
    ，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点（0，
    		2
    ）为圆心，1为半径的圆相切．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

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    已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在原点，且两曲线的焦点均在x轴上，若A（1，2），B（2，0），C(
    		2
    ，
    		2
    2
    )    中有两点在椭圆C1上，另一点在抛物线C2上．
    （Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
    （Ⅱ）设直线l与椭圆C1交于M，N两点，与抛物线C2交于P，Q两点．问是否存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以线段PQ为直径的圆都过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    已知椭圆C1的中心在原点，离心率为
    4
    5
    ，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M、N两点．
    （I）求椭圆C1的标准方程；
    （II）若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，求双曲线C2的标准方程；
    （III）若以MN为直径的圆与双曲线C2的左支有交点，求双曲线C2的离心率的取值范围．

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    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

    1．  A      2． B       3． C       4． A         5．B

    6．  D      7． A       8． C       9． D         10．C

     

    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

    11．       12．   13．24     14．

    15．168              16．①②③      17．1：（-6）：5：（-8）

     

    三、解答题：本大题共6小题，共74分．

    18．解：(Ⅰ)由

                                             ---------4分

    由，得

    即

    则，即为钝角，故为锐角，且

    则

    故．                                     ---------8分

    (Ⅱ)设，

    由余弦定理得

    解得

    故．                        ---------14分

    19．解：（1）      --------4分

    （2）x可能取的所有值有2,3,4                           --------5分

          

                        --------8分

    ∴x的分布列为：

    ∴Ex=                    --------10分

    （3）当时，取出的3张卡片上的数字为1,2,2或1,2,3

    当取出的卡片上的数字为1,2,2或1,2,3的概率为，

    ∴                             --------14分

     

    20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

    ∴EF⊥平面BDN，

    ∴平面BDN⊥平面BCEF，

    又因为BN为平面BDN与平面BCEF的交线，

    ∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上

    而D在平面BCEF上的射影在BC上，

    ∴D在平面BCEF上的射影即为点B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

    （Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，

    ∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，

    则BN=，DN=，∴折后图中BD=3，BC=3

    ∴，

    ∴

     

    ∴

    ∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.　　　　　--------９分

    法二．在线段BC上取点M，使BM=FN，则MN//BF

    ∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角。

    又MN=BF=2，    DM=，。

    ∴

    ∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为。

    （Ⅲ）∵AD//EF，

    ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，

    ∴

    即所求三棱锥的体积为.　　　　　　　　　　　　　　　--------14分

    21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得，

    则所求椭圆方程.　　　　　　　　　　--------3分

    (?)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.     --------6分

     (Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，

    此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，

    从而.            --------8分

    设直线的斜率为，则,直线的方程为：

    直线PQ的方程为，

    设

    由，消去可得

    由抛物线定义可知：

     ----10分

    由，消去得，

    从而，             --------12分

    ∴

    令，

    ∵k>0，则

    则

    所以                       --------14分

    所以四边形面积的最小值为8.                    --------15分

    22．解：（Ⅰ）

    ∵为的极值点，∴

    ∴且

    ∴.

    又当时，，从而为的极值点成立。

                                                      --------4分

    （Ⅱ）因为在上为增函数，

    所以在上恒成立.    --------6分

    若，则，

    ∴在上为增函数不成立；

    若，由对恒成立知。

    所以对上恒成立。

    令，其对称轴为，

    因为，所以，从而在上为增函数。

    所以只要即可，即

    所以

    又因为，所以．                    --------10分

    （Ⅲ）若时，方程

    可得

    即在上有解

    即求函数的值域．

    法一：

    令

    由

    ∵

    ∴当时，，从而在(0,1)上为增函数；

    当时，，从而在(1，+∞)上为减函数。

    ∴，而可以无穷小。

    ∴的取值范围为.                               --------15分

    法二：

    当时，，所以在上递增；

    当时，，所以在上递减；

    又，∴令，.

    ∴当时，，所以在上递减；

    当时，，所以在上递增；

    当时，，所以在上递减；

    又当时，，

    当时, ,则，且

    所以的取值范围为.                              --------15

     


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