2009届安徽高考信息交流试卷
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1至第2页，第Ⅱ卷为第3垒第4页．全卷满分150分，考试时问120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后．再选出其他答案标号．第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一井收回．
参考公式：
如果事件（A、B}互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件（A、B}相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A?B）=P（A）?P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复实验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷 （选择题 共55分）
一、选择题：本大题共11题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数
=
（x≠2），则其反函数
的一个单调递减区间是
A．（－∞，十∞） B．（－3，+∞）
C．（3，+∞） D．以上都不对
2．已知p：不等式
>
的解集为R；q：=
为减函数，则p成立是q成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．对于任意直线
与平面
，在平面内必有直线与
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
4．已知
，其中、b是实数．
是虚数单位，则
A．
B．
C．
D．2
5．设全集U=R，集合M=
，N=
，则下列关系式中正确的是
A．M∩N∈M B．M∪N
M
C．M∪N=R D．（
M）∩N=
6．已知函数
=，则
A．函数图像关于直线
对称 B．函数图像关于点（
，0）对称
C．函数在区间
上递减 D．函数在区间
上递增
7．给出平面区域（图中阴影部分）作为可行域．其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）。若目标函数
（>0）取得最大值的最优解有无穷多个．则的值为
A．4 B．2
C．
D．
8．已知三棱锥S―ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90。，则当球的表面积为400时。点O到平面ABC的距离为
A．4 B．
9．设P是椭圆
上的一点，F是椭圆的左焦点，且
，
，则点P到该椭圆左准线的距离为
A．
B．3
C．4 D．6
10．若
，且
，则P（
|）的值为
A．
B．
C．
D．
l1．若函数y=
满足
=，且
时，=
，则函数
的图像与函数
的图像交点个数是
A．2 B．
第Ⅱ卷 （非选择题 共95分）
（用0．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．设
，则
_________________．
13．已知向量
=（1，1），
=（1，－1），
=（
）（∈R），实数
满足
,则
的最大值为_____________．
14．一个无穷等比数列的公比为q，满足0<q<l，前
项和为
，且它的第4项与第8项之和等与
，第5项与第7项之积等与
，则
=_________________。
15．如图，正方体ABCD―
的棱长为1，M是
的中点，则下列四个命题：
①直线
与平面
所成的角等于45°；
②四面体
在正方体六个面内的摄影图形面积的最小值为；
③点M到平面的距离是；
④BM与
所成的角为
，其中真命题的序号是____________________。
三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在周长为6的△ABC中，∠A、∠B 、∠C所对的边分别为
，若成等比数列；
（1）求B的取值范围；
（2）求△ABC的面积S的最大值；
（3） 当△ABC的面积S最大时，过△ABC的重心G作直线交边AB于M，交边AC与N，设∠AGM=
，
试证：
。
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面
，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A－BE－D的大小。
18．（本小题满分12分）
一次智力竞赛中，共分三个环节：选答、抢答、风险选答，在第一环节“选答”中．每个选手可以从6道题（其中4道选择题，2道操作题）中任意选3道题作答，答对每道题可得100分；在第二环节“抢答”中，一共为参赛选手准备了5道抢答题．答对一道得1 00分，在每一道题的抢答中，每位选手抢到的概率是相等的；在第三环节“风险选答”中，一共为选手准备了A、B、C 三类不同的题目，选手每答对一道A类、B类、C类的题目将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应地要扣除300分、200分、100分．而选手答对一道A类、B类、C类题目的概率分别是0．6、0．7、0．8，现有甲、乙、丙三位选手参加比赛，试求：
（1）乙选手在第一环节中，至少选中一道操作题的概率；
（2）甲选手在第二环节中抢到的题数多于乙选手而不多于丙选手的概率；
（3）在第三环节中，就每道题而言，丙选手选择哪类题目得分的期望值更大．
19．（本小题满分I 3分）
某容器中装有浓度为r％的溶液ml，倒出
ml后，再倒入浓度为p％的溶液ml（P>r）搅匀，如此反复操作，设第n次操作后溶液的浓度为
％，第n+1次操作后溶液的浓度为
％．
（1）求与的关系式；
（2）求第n次操作后溶液的浓度％；
（3）记：
。求数列
的前n项和
。
20．（本小题满分14分）
已知函数
在
上单调递减，
在
上单调递增．
（1）求实数
的值；
（2）求
的最小值；
（3）当＞1时，若
≥
在
上恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分I 4分）
已知两定点A（
，0），B（3，0），动圆M与直线AB相切于点N．且
=4，现分别过点A、B作动圆M的切线（异于直线AB），两切线相交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线
截动点P的轨迹所得的弦长为5，求m的值；
（3）设过轨迹上的点P的直线与两直线
，
分别交于点
，
，且点
分有向线段
所成的比为（＞0），当∈
时，求
的最小值与最大值。
2009届安徽高考信息交流试卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
D
C
A
C
B
A
D
C
提示与分析：
1．
，故选C。
2．易知p成立，m＜3，q成立，2＜m＜
，从而p成立
成立，故选B。
3．选C
4．由已知得
即
，得
，故选D。
5．易知
,故选C。
6．
，作图知选A。
7．选C。由题：
。
8．设球半径为R,由
，由
知，三棱锥顶点S爱底面ABC内的摄影D是△ABC的外心，又∠ACB=90°，∴D是AB的中点，点O到ABC的距离h=OD，设SA=SB=SC=AB=2
，可得
，或h=10（舍），故选B。
9．由题设易知M是PF的中点，设椭圆右焦点为
，由
知，
=8,
，又易知该椭圆的离心率
，再由椭圆第二定义得，点P到椭圆左准线的距离
，故选A。
10．由
，∴
故选D。
11．由题设知
是周期为2的周期函数，由
时，
，可作出再R上的简图，又
是偶函数，再作出简图，则可确定两图像的交点个数，故选C。
二、填空题
12．112 13．9 14．32 15．①②④
提示与分析：
12．令
得
，再分别令
得两式，再相加可得
，从而得知
。
13．由题得：
，
得：
，而
可看作是单位圆上的点（m，n）到点（2，0）的距离，则易知，
的最大值为9．
14．由题设知，
又0＜q＜1则得
，∴
15．如图，①知直线BC与面
所成的角即为∠
,故①正确。
②易知四面体
在四个侧面的摄影图形面积均最小，为正方形面积之半，故②正确
③点M到平面的距离，即为点
到平面的距离。其等于
，故③不正确。
④易知BM与
所成的角，即为BM与
所成的角，设∠
∠
易知
，
，即
，故④正确。
三、解答题
16．（1）由题设知：
再由余弦定理得：
当且仅当
时取等号，故所求B的取值范围是
（3分）
（2）∵
，∴
，
∴0＜b
，当且仅当时，
∴
∴
（6分）
（3）由（1）（2）易知，当△ABC的面积S最大时，△ABC是边长为2的正△，此时易知
∠
∠
在△AGM中，由正弦定理得：
则
在△AGN中，同理可得：
（10分）
∴
（或用降次公式化简）
（12分）
17．解法一：
（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,
∴BD=
，BC=6
取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD，
∴PA与CD所成的角就是∠PAF （4分）
连PF由题设易知AF=PF=PA=,
∴∠PAF=60°即为所求 （6分）
（2）连AC交BD于G，连EG，易知
,
又
∴
，∴PC∥EG,又EG
面EBD，∴PC∥面EBD （10分）
（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，
又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB
作AH⊥BE于H，连DH，则DH⊥BE, （12分）
在△AEB中，易求得BE=
，
在
△DAH中，
∠
即所求二面角的大小为
（14分）
解法二：（1）如图建立空间直角坐标系
，设
则A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），
=
∵
，∴
，
即：3（3-）+9=0
（2分）
∴
∴
∴
，即异面直线PA与CD所成的交为60°
（6分）
（2）设平面BED的法向量为
∵
由
得
，∴
（12分）
又由（1）知
，∴
，∴PC∥面EBD （10分）
（3）由（2）知
又平面ABE的法向量
，
故所求二面角的大小为
（14分）
18．（1）在第一环节中，乙选手从6道题目中任选3道至少有1道操作题的概率
（4分）
（2）在第二环节中，甲抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况有以下三种：
甲、乙、丙三位选手抢到的题目的个数分别为1，0，4；2，0，3；2，1，2，
故所求的概率
（8分）
（3）在第三个环节中，就每一次答题而言，丙选手得分是一个随机变量
，
若选A类题，其得分的期望是
（分）
若选B类题，其得分的期望是
（分）
若选C类题，其得分的期望是
（分）
由于
＞
=
,故丙应选B类得分的切望值更大。（12分）
19．（1）依题意可得：
（4分）
（2）由
当
时，
，则
∴
，∴
即第
次操作后溶液的浓度为
（9分）
（3）由（2）可得：
则
由错位相减法可求得：
故所求
（13分）
20．（1）由
＜0，
＞
，∴
又
＞
＜
，∴
从而有 
（4分）
（2）由（1）可知，
故
，则
令
＞
∵
＞
得
＞，∴＞
令＜∵＞，解得＜＜
列表：
（0，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
↓
0
↑
即 在
处有最小值0 （8分）
（3）由
易知
时，
＜
∴
为减函数，其最小值为1
令
在
上单增，其最大值为
依题意得：
又＞
∴＜
（14分）
21．（1）由题设及平面几何知识得：
＜
,
∵动点P的轨迹是以A、B为交点的双曲线右支，
由
故所求P点的轨迹方程为：
（4分）
（2）易知 直线
恒过双曲线焦点B（3，0）
设该直线与双曲线右支相交于
由双曲线第二定义知，
又
∴
，则
，
由
得
，从而易知，仅当
时，
满足
故所求 （8分）
（3）设
，且p分有向线段
所成的比为
，
则
，
，
又点
在双曲线
上，∴
化简得：
又
∴
（11分）
令
∵
在上单减，在
上单增，
又
，∴在
上单减，在
上单增，∴
又
，∴
故所求
的最小值为9，最大值为
。 （14分）
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