江苏省泰兴市第四高级中学高三第二学期第三次月考
数学试卷 2009.03.05
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知全集
，集合
，
，
那么集合
__________。
2..双曲线
的一条准线恰好与圆x2+y2+2x=0相切，则双曲线的离心率为_________
3.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，
现通过分层抽样抽取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=___________.
4. 按如右图所示的流程图运算,若输入
，则输出
_________
5．已知变量
满足约束条件
则
的取值范围是____________
6．已知
的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为
，
的平分线所在直线方程为
，则BC边所在直线的方程为：___________________．
7．若向量
，且
，则
等于_______
8．方程
的零点个数是
9．已知集合
，
，（
可以等于
)，从集合
中任取一元素，则该元素的模为
的概率为______________。
10.如图，在△ABC中，己知AB＝2，BC＝3，
于H，M为AH的中点，若
则
.
11．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：
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按如此规律下去，则
__________
12．已知二次函数
的值域为
，则
的最小值为__________
13．对于函数
（
），若存在闭区间
，使得对任意
，恒有
=
（为实常数），则实数
的值为
．
14．设
为数列
的前
项之和.若不等式
对任何等差数列及任何正整数恒成立，则
的最大值为
：__________
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二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．
如图，D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=
,∠ABC=
.
(Ⅰ)．证明 
;
（Ⅱ）．若AC=
DC,求的值.
16．如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱锥P-ABC的体积．
|
与学习时间
（单位时间）之间的关系为
，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：
．
；
上的平均学习效率为
，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．
18．（本小题满分14分）已知椭圆
两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标；
顺次为直线
上的点，点列
轴上的点，其中
，对任意的
，点
、
、
构成以
是等差数列；
是常数，并求数列
的通项公式；
中，是否有正三角形，若有，求出实数
)上为增函数，求a的范围
[1,e]，使不等式f(x)
(a+3)x―
x2成立，求实数a的取值范围
的正方体，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点P，延长CP交AB于M.求证：（1）M是AB的中点；（2）求线段BP的长。
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
, 求矩阵M.
（
）被曲线
所截的弦长.
为正数，且满足
，
．
，
）；
，求
的分布列与数学期望.
中，对于一切的
均有
成立。
与
的大小，并证明你的结论。
； 2. 2. 3.200 4. 3 5．
6.
7．
； 10.
11.1005 12.4 13. 1 14．
15．解： (1)．如图，
，
．
中，由正弦定理得
，
．
∴
，∴
；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
，∴
平面ABC，∴PA⊥BC. 
， 
，解得
， 
． 
个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为
，则
，则
， 
，即
时，
，
，
，设
，
，……………………2分
，∵点
在曲线上，则
，∴
，从而
，得
.则点P的坐标为
. ……………………5分
，………6分
.由
得
，设
，则
，
同理可得
，则
，
. ………………9分
为定值. ………………10分
.
，得
，
，得
，………………12分
。
取等号
。………………14分
,于是
.
是等差数列.
.4分
,即
, (
)
①
.
② 
①得：
, 所以
是常数． 
都是等差数列. 
，那么得 
,
. (
为奇数时,
,所以
所以
轴,垂足为
则
,要使等腰三角形
为正三角形,必须且只须：
.
,即
①
， 当
时，. 
不合题意． 
，
,同理可求得 
.
；
；当
时，
的值为
；
；
；
只需2+a≥0即a≥-2
=
(*)
x1>0，x2>o 
从而
,又a<0 ∴（*）式≥0
(当且仅当x1=x2时取“=”号)
可化为：
∴lnx≤1≤x,因等号不能同时取到，∴lnx<x,lnx―x<0
, x
=
<0，且1―x≤0
,所以g(x)在x
=g(1)= ―
能成立且a
AB
,∴BP=
，则
=8
，故
=
，故
．
C.求直线
（
）被曲线
所截的弦长，将方程
分别化为普通方程：
，
………(5分)
D．解：由柯西不等式可得 
”为事件A， （
）的取值共有10种情况，…………1分
；
得
中
，∴
，∴
，那么
，
（n≥2）.下面用数学归纳法证明：
，
，
，都有