2009年广东省深圳市高三年级第一次调研考试
数学（文科） 2009.3
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考结论：
椭圆
的右准线方程为
.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数
的实部与虚部是互为相反数，则
的值等于
A．
B．
C．
D．
2．已知两条不同直线
和
及平面
，则直线
的一个充分条件是
A．
且
B．
且
C．且
D．且
3．在等差数列
中，
，
表示数列的前
项和，则
A．
B．
C．
D．
4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
5．已知点
落在角
的终边上，且
，则的值为
A．
B．
C．
D．
6．按如下程序框图，若输出结果为
，则判断框内应补充的条件为
A．
B．
C．
D．
7．若平面向量
与
的夹角是
，且
，则
的坐标为
A．
B．
C．
D．
8．若函数
的大致图像如右图，其中
为常数，
则函数
的大致图像是
A． B． C． D．
9．设平面区域
是由双曲线
的两条渐近线和椭圆
的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点
，则目标函数
的最大值为
A． B． C．
D．
10．设
，又记
则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有
种、
种、
种、
种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是
，则
．
12．已知命题
，
．若命题
是假命题，则实数的取值范围是
．
13．在
中，若
，则
外接圆半径
．
运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为
，则其外接球的半径
=
．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
作圆
的切线，则切线的极坐标方程是
．
15．（几何证明选讲选做题）如图，
是⊙
的直径，
是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为
，
，若
，则⊙的直径
．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）设
，求的值域．
17．（本小题满分12分）
先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，
表示第枚骰子出现的点数．
（Ⅰ）求点
在直线
上的概率；
（Ⅱ）求点满足
的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点
、
在圆上，
，矩形
所在的平面
和圆所在的平面互相垂直，且
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）设
的中点为
，求证：
平面
；
（Ⅲ）设平面将几何体
分成的两个锥体的体积分别为
，
，求
．
19.（本题满分14分）
已知函数
，其中
为实数.
（Ⅰ）若
在
处取得的极值为，求的值；
（Ⅱ）若在区间
上为减函数，且
，求的取值范围.
20．（本题满分14分）
如图，两条过原点的直线
分别与轴、轴成
的角，已知线段
的长度为，且点
在直线
上运动，点
在直线上运动．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设过定点
的直线
与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点
、
，且
为锐角,求直线的斜率
的取值范围．
21．（本小题满分14分）
设数列
的前项和为
，
，且对任意正整数,点
在直线
上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数
，使得数列
为等差数列？若存在，求出的
值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证：
.
2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
B
C
D
D
A
B
C
D
二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．
11．
. 12．
. 13．
． 14．
． 15． 4.
三、解答题：本大题满分80分．
16．（本小题满分12分）
已知函数．
学科网
（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）设，求的值域．学科
网解：（Ⅰ）∵
学科网
学科
…………………… 3分
…………………… 4分
．
…………………… 6分
的最小正周期为
．
…………………… 7分
（Ⅱ）∵，
，
…………………… 9分
又
，
， …………………… 11分
的值域为
．
…………………… 12分
17．（本小题满分12分）
先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．
（Ⅰ）求点在直线上的概率；
（Ⅱ）求点满足的概率．
解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有种情况，
所以基本事件总数为
个. …………………… 2分
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
，
…………………… 5分
…………………… 6分
（Ⅱ）记“点满足”为事件，则事件有
个基本事件:
当
时，
当
时，
；
…………………… 7分
当
时，
；当
时，
…………………… 9分
当
时，
；当
时，． …………………… 11分
…………………… 12分
18．（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面
和圆所在的平面互相垂直，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设的中点为，求证：平面；
(Ⅲ) 设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．
（Ⅰ）证明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面，
平面，
,……… 2分
又
为圆的直径，
，
…………………… 4分
平面。
…………………… 5分
（Ⅱ）设
的中点为
，则
，又
，
则，
为平行四边形，
…………………… 8分
，又
平面，
平面，
平面。
…………………… 10分
(Ⅲ)过点作
于
，平面平面，
平面，
， …………………… 12分
平面，
，………………… 13分
． …………………… 14分
19.（本小题满分14分）
已知函数，其中为实数.
(Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值;
（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.
解：(Ⅰ)由题设可知:
且
，
……………… 2分
即
，解得
……………… 5分
（Ⅱ）
，
……………… 6分
又在上为减函数，
对
恒成立，
……………… 7分
即
对恒成立.
且
，
……………… 11分
即
，
的取值范围是
……………… 14分
20．（本题满分14分）
如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动．
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得直线
，：
，
：
， ……… 2分
在直线上运动，直线上运动，
,
，
…………………… 3分
由
得
，
即
，
，
…………………… 5分
动点的轨迹的方程为
． …………………… 6分
（Ⅱ）直线方程为
，将其代入，
化简得
， ……… 7分
设
、
，
，
且
， …………………… 9分
为锐角，
，
…………………… 10分
即
，
，
．
将代入上式，
化简得
，
．
…………………… 12分
由
且
，得
． ……………………14分
21．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证： .
解：(Ⅰ)由题意可得：
①
时, 
②
…………………… 1分
①─②得
， 
…………………… 3分
是首项为，公比为
的等比数列，
……………… 4分
（Ⅱ）解法一:
……………… 5分
若
为等差数列，
则
成等差数列, ……………… 6分
得
……………… 8分
又
时，
，显然
成等差数列，
故存在实数，使得数列
成等差数列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使
成等差数列,只须
即便可. ……………8分
故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分
（Ⅲ）
…… 10分
………… 11分
………… 12分
又函数
在
上为增函数，
，
………… 13分
，．
……… 14分
命题：胡庆华 王光宁 康 宇 审题：石永生
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com