2009云南省曲靖一中高考冲刺卷文科数学（七）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．设全集
，集合
，则
的值为
A．3 B．
D．
2．不等式
的解集是
A．
B．
或
C．
D．
3．设点
的坐标为
，则点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设直线
，则
到
的角是
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．设函数
，那么
的值等于
A．
B．
C．0 D．
6．不等式组
，所表示的平面区域的面积是
A．1 B．
7．若
的展开式中各项系数之和是
的展开式中各项的二项式系数之
和是
，则数列
为
A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为
的等比数列 D．公比为3的等比数列
8．设曲线
在
处的切线的倾斜角为
，则的取值是
A．
B．
C．
D．
9．函数
的图象的一个对称中心是
A．
B．
C．
D．
10．某单位购买10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名
职工从中各抽1张，至少有1人抽到甲票的方法数是
A．231 B．
11．已知
分别是圆锥曲线
和
的离心率，设
，则
的取值范围是
A．（
，0） B．（0，
） C．（，1） D．（1，）
12．在半径为
的球
内有一内接正三棱锥
的外接圆恰好是球的一个
大圆，一个动点从顶点
出发沿球面运动，经过其余三点
、
、
后返回点，
则点经过的最短路程是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量
，若
与垂直，则实数
．
14．若等比数列
中，
，则数列的前9项和
．
15．已知点
及直线
，点是抛物线
上一动点，则点到定点的
距离与到直线
的距离和的最小值为
．
16．已知平面、
、
及直线、满足：
，那么在
结论：① 
；② 
；③ 
中，可以由上述已知条件推出的结论
有
。（把你认为正确的结论序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知角、、为
的内角，其对边分别为、
、c，若向量
,且
，的面积
，求
的值．
18．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人独立解答某一道数学题，已知三人独立解出的概率依次为0．6，0．5，0．5，求：
（1）只有甲解出的概率；
（2）只有1人解出的概率．
19．（本小题满分12分）
设数列
满足：
,且数列
是等差数列，
是等比数列，其中
．
（1）求数列和
的通项公式；
（2）求数列的前
项和
．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，
，
为棱
的中点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正切值．
21．（本小题满分12分）
中心在原点，焦点在
轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点
、
，且
，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4，离心率之比为3：7．
（1）求两曲线的方程；
（2）设是两曲线的一个交点，求向量
与
的夹角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知函数
在处有极值，
在
处的切线不过第四象限且倾斜角为
，坐标原点到切线的距离为
．
（1）求切线的方程及的表达式；
（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
一、
1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由题意知
，解得
．
2．由
得
，化得
，解得
．
3．
，又
．
4．设
到
的角为
的斜率
的斜率
，
则
，于是
．
5．由条件，解
即
得
，则
．
6．不等式组化得 
平面区域如图所示，阴影部分面积：
．
7．由已知得
，而
，则
是以3为公比的等比数列．
8．
即
，于是
，而
解得
．
9．函数可化为
，令
，
可得其对称中心为
，当
时得对称中心为
．
10．
．
11．由条件得：
，则
得
所以
．
12．沿球面距离运动路程最短，最短路程可以选
．
二、填空题
13．
，由
与
垂直得
．即
，解得
14．99
在等差数列
中，
也是等差数列，由等差中项定理得
．
所以
．
15．
由题意知，直线
是抛物线
的准线，而
到的距离等于到焦点
的距离．即求点到点
的距离与到点
的距离和的最小值，就是点与点的距离，为．
16．②
一方面．由条件，
，得
，故②正确．
另一方面，如图，在正方体
中，把
、
分别记作、
，平面
、平面
、平面
分别记作
、
、
，就可以否定①与③．
三、解答题
17．解：
，且
，即
又
．
由余弦定理，
，故
．
18．解：（1）只有甲解出的概率：
．
（2）只有1人解出的概率：
．
19．解：（1）由已知
，∴数列
的公比
，首项
又数列
中，
∴数列的公差
，首项
∴数列、
的通项公式依次为
．
（2）
，
．
20．（1）证明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中点
，连接
交
于点，则
．
与平面所成角大小等于与平面所成角的大小．
取
中点
，连接
、
，则等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
为直线与面所成的角
又
，
∴直线与平面所成角的正切值为
．
（注：本题也可以能过建立空间直角坐标系解答）
21．解：（1）设椭圆方程为
，双曲线方程为
，半焦距
由已知得
，解得
，则
故椭圆及双曲线方程分别为
及
．
（2）向量
与
的夹解即是
，设
，则
由余弦定理得
①
由椭圆定义得
②
由双曲线定义得
③
式②+式③得
，式②
式③得
将它们代入式①得
，解得
，所以向量与夹角的余弦值为
．
22．解（1）由
得
在
处有极值
①
又
在
处的切线的倾斜角为
②
由式①、式②解得
设的方程为
∵原点
到直线的距离为
，
解得
．
又不过第四象限，
．
所以切线的方程为
．
切点坐标为（2，3），则
，
解得
．
（2）
在
上递增，在
上递减
而
在区间
上的最大值是3，最小值是
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